Nierówność Czybyszewa, szacowanie prawdopodobieństwa

[lvi]

Czy mógłby mi ktoś pomóc rozwiązać te zadania ? Chociaż jedno dużo mi da. Jeśli nie macie czasu robić całych to myślę, że dobra lista kroków będzie wystarczająca.

Zad 1. Oszacuj prawdopodobieństwo wyrzucenia pomiędzy 400 a 500 orłów na 900
rzutów idealną monetą.

Zad 2. Na końcowym egzaminie z rachunku prawdopodobieństwa student może
otrzymać maksymalnie 100 pkt. Średnia ilość punktów uzyskana przez 800 studentów
wynosi 72,5, a odchylenie standardowe 8.2. Stosując nierówność Czebyszewa, podaj
(oszacowanie) co najmniej ilu studentów musiało otrzymać pomiędzy 55 i 90 pkt.

Zad 3. Transfer pliku może być dokonany przy użyciu sieci kablowej lub sieci WiFi.
W każdym z powyższych przypadków podczas transferu może nastąpić zerwanie
połączenia, które spowoduje konieczność ponownego przesłania całego pliku z
prawdopodobieństwem odpowiednio \(\displaystyle{ p}\) lub \(\displaystyle{ q}\). Przed rozpoczęciem procedury
wybieramy sieć którą będziemy nadawać. Wiadomo, że koszt transferu związany jest
z ilością prób niezbędnych do całkowitego transferu pliku dla poszczególnych sieci,
które oznaczamy przez \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ Y}\) odpowiednio. Zakładamy, \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne. Obliczyć:
a. \(\displaystyle{ P(X=Y)}\)
b. \(\displaystyle{ E(max(X,Y))}\)
c. \(\displaystyle{ P(min(X,Y)=k)}\)

[scyth]

To na początek lista kroków:
1. centralne twierdzenie graniczne - coś mówi?
2. jak brzmi ta nierówność?
3. opisz słowami co oznaczają te podpunkty.

[lvi]

To co napisałeś to nie jest lista kroków ale do rzeczy.

Zad 1. Ktoś mi uświadomił że można najpierw wylicz przedział \(\displaystyle{ X < 400}\) potem \(\displaystyle{ X > 500}\), dodać to do siebie, a wynik odjąć od 1. Czy to jest poprawna metoda? Jeśli tak to:

Zauważmy że liczba orłów jest sumą 900 prób Bernoulliego o pr. sukcesu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).
Suma ta ma w przybliżeniu rozkład \(\displaystyle{ N \left( np,\sqrt{npq} \right)}\) więc,
\(\displaystyle{ P \left( 400 \le X \le 500 \right) = 1 - \left( P \left( S_{900} < 400 \right) + P \left( S_{900} > 500 \right) \right)}\)

\(\displaystyle{ P \left( S_{900} < 400 \right) = P \left( X < \frac{400 - 900 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{900 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}} \right) = P \left( X < - \frac{10}{3} \right) =}\) Co z tym zrobić(Ujemna) ? Obliczenia i zapis są dobre?

\(\displaystyle{ P \left( S_{900} > 500 \right) = P \left( X > \frac{500 - 900 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{900 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}} \right) = P \left( X > \frac{10}{3} \right) =}\) I tutaj chciałbym tą wartość odczytać z

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.uni.wroc.pl/~debicki/studenci/rpInf/tab.pdf

która dostałem od mojego profesora ale są tu wartości nie większe niż 3.
Pomożesz mi coś z tym zrobić ?

[scyth]

1. Tak, w tym zadaniu dokładnie chodzi o wyznaczenie rozkładu normalnego przybliżającego zagadnienie, co zrobiłeś dobrze. Potem zadanie rozwiązujemy stosując standaryzację rozkładu normalnego, co masz rozpisane tutaj:
291136.htm

Tablica którą masz to właściwie jest pół tablicy, ale jest ona wystarczająca ponieważ \(\displaystyle{ \Phi(-u)=1-\Phi(u)}\), czyli jak masz policzyć \(\displaystyle{ \Phi \left( -\frac{10}{3} \right)}\) to zachodzi:
\(\displaystyle{ \Phi \left( -\frac{10}{3} \right) = 1 - \Phi \left( \frac{10}{3} \right)}\)
(choć szczerze mówiąc ja preferuję pełne tablice).
Jeśli masz wartość większą niż 3 a twoja tablica tego nie obejmuje, to możesz (właściwie to musisz) przyjąć, że \(\displaystyle{ \Phi(3)=1}\) (a więc analogicznie \(\displaystyle{ \Phi(-3)=0}\)).

[lvi]

Czyli żeby to dokłądniej zapisać to będzie:

\(\displaystyle{ P \left( S_{900} < 400 \right) = P \left( \frac{X - 900 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{900 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}} <
\frac{400 - 900 \cdot \frac12}{\sqrt{900 \cdot \frac12 \cdot \frac12}} \right) = P \left( Y < - \frac{10}{3} \right) = \Phi\left( - \frac{10}{3}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{10}{3}\right) = 1 - 0,935658 }\)
[wg tej tabeli]

Tylko nie wiem czy dobrze odczytałem wartości z niej bo 'trójka' w indeksie górnym wprowadza mnie w zakłopotanie.
Analogicznie dla \(\displaystyle{ P\left( X > 500\right) = P\left( Y > \frac{10}{3}\right) = 0,935658}\)
Ale wtedy wynik końcowy to:
\(\displaystyle{ 1 - (1 - 0,935658 + 0,935658) = 0}\) Co jest źle?

[scyth]

Źle odczytałeś - trójka w indeksie górnym oznacza, że są trzy dziewiątki, czyli nie 0,935658 a 0,9995658

W "analogicznie dla" masz błąd - zauważ, że standaryzacja przebiega dla \(\displaystyle{ P(X < a)}\) a nie dla \(\displaystyle{ P(X>a)}\). Musisz przekształcić prawdopodobieństwo:
\(\displaystyle{ P(X>a) = 1 - P(X<a)}\)
i dopiero wtedy liczyć.

[lvi]

Super. A co do zadania nr 2.

Zauważmy, że \(\displaystyle{ 55 \le X \le 90 \Leftrightarrow \left| X - 72,5\right| \le 17.5}\) I czy możemy to wstawić do nierówności \(\displaystyle{ P\left( \left| X - EX\right| \ge t\right) < \frac{Var\left[ X\right]}{t ^{2} }}\) i wtedy po przekształceniu wyjdzie
\(\displaystyle{ P\left( \left| X - 72,5\right| \le 17.5\right) \ge 1 - \frac{Var\left[ X\right]}{t ^{2} }}\)
Uściślając, czy \(\displaystyle{ EX = 72,5}\) a jeśli nie to jak tą wartość obliczyć ?

[scyth]

Zobacz na ten temat:
viewtopic.php?t=338324

edit: coś chyba źle pomyślałem.

[lvi]

Chyba nie rozumiem Twojej sugestii i teraz zgłupiałem i nie wiem czym może być X. Wynikiem testu dla poszczególnego studenta?

[scyth]

Bo źle pomyślałem, zignoruj to co tam było. Masz dobrze - policz to prawdopodobieństwo.

[lvi]

Ok czyli
\(\displaystyle{ 1 - \frac{Var\left[ X\right] }{t ^{2} } = 1 - \frac{8.2 ^{2}}{17.5 ^{2} } \approx 1 - 0.22 = 0.78 \le P\left( \left| X - 72.5\right| \le 17.5 \right)}\)
Czyli wynika z tego, że co najmniej 78% studentów miało wynik między 55 a 90 punktów?
Czyli \(\displaystyle{ EX = 72.5 ?}\)

[scyth]

Tak i tak.

[lvi]

Ekstra, dzięki za zmuszenie do myślenia. Dużo się nauczyłem dzięki Tobie.
Możesz mnie jeszcze naprowadzić dlaczego \(\displaystyle{ EX = 72.5?}\) Bo nie widzę tego.

[scyth]

Bo:

Średnia ilość punktów uzyskana przez 800 studentów wynosi 72,5

a to jest najlepszy estymator wartości oczekiwanej.