Czwarty moment zwykły rozkładu normalnego

[kieubass]

Witam!

Mam jedno zadanie w którym trzeba prawdopodobieństwo, które normalnie odczytuje się z rozkładu chi kwadrat, odczytać jednak przybliżając rozkładem normalnym Zatem muszę zastosować podstawienie \(\displaystyle{ Y _{i} =X _{i} ^{2}}\) Zmienna \(\displaystyle{ X\sim N(0,9)}\).

I teraz mam problem... Wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ \mathbb{E}Y}\) wyliczyłem przekształcając wzór na wariancję \(\displaystyle{ \mathbb{D}^{2}X}\) otrzymując \(\displaystyle{ \mathbb{E}Y = \mathbb{E}X^{2}=9}\)

Chciałem obliczyć wariancję zmiennej \(\displaystyle{ Y}\) i chciałem to też zrobić przekształcając ten sam wzór na wariancję: \(\displaystyle{ \mathbb{D}^{2} X^{2} = \mathbb{E}X^{4} - \left( \mathbb{E}X^{2}\right)^{2}}\)
I tu mam problem, bo nie mogę policzyć \(\displaystyle{ 4}\) momentu zwykłego... Z czego powinienem skorzystać? Próbowałem na różne sposoby...

- Korzystając z niezależności:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^{4} = \mathbb{E}\left( X^{2} \cdot X^{2}\right) = nzl = \mathbb{E} X^{2} \cdot \mathbb{E} X^{2} = 9 \cdot 9 = 81}\), ale wtedy wariancja wychodzi mi zero, co jest niemożliwe...

- Korzystając z innego wzoru na wariancję zmiennej:
\(\displaystyle{ \mathbb{D}^{2} X^{2} = \mathbb{E} \left( X^{2} - \mathbb{E}X^{2}\right) = \mathbb{E} \left( X^{2} - 9\right) = \mathbb{E} X^{2} - \mathbb{E}9 = 9-9 = 0}\) co też jest źle...

- Korzystając z ogólnego wzoru na n-ty moment:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^{4} = \int_{-\infty}^{+\infty} x^{4} \cdot f_{X}(x) \mbox{d}x}\)
Ale weź teraz licz całkę z gęstości rozkładu normalnego... :/

Wreszcie znalazłem na wikipedii funkcję tworzącą momenty, ale nie wiem czy mogę z niej skorzystać, bo na zajęciach jej nie mieliśmy i nigdy nie była wykorzystywana...

Proszę o jakiekolwiek pomysły i sugestie, może da się wyznaczyć wariancję zmiennej \(\displaystyle{ Y}\) jakoś prościej, bez tego czwartego momentu?

Pozdrawiam!

[Arst]

Jeśli dobrze pamiętam, to prawdziwa jest równość \(\displaystyle{ \EE X^{2n}=(2n-1)!!}\) dla \(\displaystyle{ X\sim \mathcal{N}(0,1)}\). Może Ci się przydać.

Pozdrawiam,
A.

[kieubass]

Tak, zapomniałem powiedzieć, że też z niej skorzystałem, ale napotkałem parę trudności w tej metodzie, bo \(\displaystyle{ 1\cdot 3 = 3}\) i wówczas wariancja wychodzi mi ujemna, bo mam \(\displaystyle{ 3-81 = -78}\)... Poza tym moje zmienne \(\displaystyle{ X\sim N(0,9)}\) a nie \(\displaystyle{ N(0,1)}\)... Więc może źle korzystam z tej metody... Troszkę się usprawiedliwię: metoda ta była wspomniana na wykładzie, nieużywana niestety w praktyce na ćwiczeniach...