Wykazanie prawidłowości wzoru na wariancję.

[michal0906]

Zadanie brzmi tak:
Wykaż, że wariancję liczb: \(\displaystyle{ x_{1} , x _{2} , x _{3} ,..., x _{n}}\) , których średnia arytmetyczna jest równa \(\displaystyle{ \overline{x}}\) , można obliczyć z wzoru \(\displaystyle{ \sigma ^{2} = \frac{x^{2} _{1} + x^{2} _{2} +....+ x^{2} _{n} }{n}- \overline{x} ^{2}}\).

I tu moje pytanie czy autorzy nie pomylili się i nie miałem pokazać, że NIE da się policzyć z tego wzoru...
\(\displaystyle{ \frac{x^{2} _{1} + x^{2} _{2} +....+ x^{2} _{n} }{n}- \overline{x} ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^{2} _{1} + x^{2} _{2} +....+ x^{2} _{n} }{n}- \frac{n\overline{x} ^{2}}{n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^{2} _{1} - \overline{x} ^{2} + x^{2} _{2} - \overline{x} ^{2} +....+ x^{2} _{n} - \overline{x} ^{2} }{n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(x _{1} - \overline{x})(x _{1} + \overline{x})+(x _{2} - \overline{x})(x _{2} + \overline{x})+...+(x _{n} - \overline{x})(x _{n} + \overline{x}) }{n}}\)

I jak dobrze wiemy \(\displaystyle{ (a-b)(a+b)}\) nijak się ma do \(\displaystyle{ (a-b) ^{2}}\) jak to ma miejsce we wzorze na wariancję.

[chris_f]

To ładnie pojechałeś. Chcesz wykazać, że wzór używany od dziesiątków lat jest nieprawdziwy.
Spójrz np. tu:
PS. Poszukaj może dowodu, jest łatwy do znalezienia.

[michal0906]

Już nieważne, znalazłem dowód
Dzięki za info

Tylko mnie jedno dziwi. Gdzie w moim rozumowaniu jest błąd?

[chris_f]

Nie masz błędu. Tylko składnik \(\displaystyle{ 2ab}\) wyrażony w najprostszej postaci po prostu się zeruje.