znaleźć dystrybuantę funkcji gęstości

[dracula]

mam następujące funkcje gęstości:

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{(15+x)^{2}}{2000}
dla -15<x \le -5}\)

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{75-x^{2}}{1000}
dla -5<x \le 5}\)

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{(15-x)^{2}}{2000}
dla 5<x\le 15}\)

i dla nich muszę wyznaczyć dystrybuantę i ją narysować.

Zastanawiam się, czy coś mi to da, jeśli scałkuję te funkcje w podanych granicach? Proszę o jakieś wskazówki od czego mogłabym tutaj zacząć.

Pozdrawiam

[chris_f]

Najzwyczajniej w świecie zastosuj definicję dystrybuanty w kolejnych przedziałach:
dla \(\displaystyle{ x\le-15}\) liczysz (teoretycznie) całkę \(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{x}0dt=0}\)
Potem dla \(\displaystyle{ x\in(-15,-5]}\) dystrybuanta będzie określona wzorem
\(\displaystyle{ F(x)=\int_{-15}^x\frac{(15+t)^2}{2000}dt}\)
to chyba policzysz.
Dalej w przedziale \(\displaystyle{ x\in(-5,5]}\) dystrybuanta to
\(\displaystyle{ F(x)=\int_{-5}^x\frac{75-t^2}{1000}dt}\)
W trzecim i czwartym przedziale tak samo.
Dostaniesz dystrybuantę w postaci "klamerkowej", tzn stąd - dotąd taka funkcja, stąd - dotąd druga, itd.
Narysowanie sprowadza się do narysowania odpowiednich kawałków wyznaczonych funkcji.



Ale sprawdź jeszcze raz czy dobrze przepisałeś treść zadania. Nie liczyłem, tylko tak w głowie, coś mi nie pasuje z tymi wzorami funkcji gęstości.

[dracula]

funkcje są dobrze przepisane, sprawdziłam.

ok, czyli ten następny przedział to będzie całka z tej ostatniej funkcji w granicach od 5 do x ?

jeszcze dwa pytania: dlaczego w tych zapisach które podałeś jest dt zamiast dx ? nie wiem też dlaczego dla x<-15 liczy się całkę z 0dt i tak właściwie po co liczyć tę całkę jeśli interesują mnie x> -15 ?

[chris_f]

Z tym zerem to sprawa dosyć oczywista. Wzory masz podane dla \(\displaystyle{ x\in[-15,15]}\), a więc poza tym przedziałem gęstość musi wynosić zero.
Wprowadzenie literki \(\displaystyle{ t}\) w całkach jest zabiegiem czysto technicznym, chodzi o to, żeby ta sama litera nie pojawiała się jako granica całkowania i zmienna pod całką.
W sumie da się to przeżyć, ale trudno jest podstawiać za \(\displaystyle{ x}\)-a we wzorze funkcji po scałkowaniu \(\displaystyle{ x}\)-a z granicy całkowania. Taka niezręczna sytuacja wychodzi. Jak ma się wprawę, to nie jest wielki problem, tyle, że jest to tak naprawdę kolizja oznaczeń. Czym innym jest \(\displaystyle{ x}\) pod całką, a czymś innym \(\displaystyle{ x}\) w granicy całkowania.

[dracula]

ok, rozumiem

scałkowałam te funkcje w podanych granicach i wyszło mi:

dla pierwszego przedziału:

\(\displaystyle{ \frac{225}{2000}x}\)+\(\displaystyle{ \frac{15}{2000}x^{2}}\)+\(\displaystyle{ \frac{1}{6000}x^{3}+0,5625}\)

dla drugiego przedziału:

\(\displaystyle{ \frac{75}{1000}x}\)-\(\displaystyle{ \frac{1}{3000}x^{3}}\)+\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)

dla trzeciego przedziału:
\(\displaystyle{ \frac{225}{2000}x}\)-\(\displaystyle{ \frac{15}{2000}x^{2}}\)+\(\displaystyle{ \frac{1}{6000}x^{3}-0,395}\)

teraz jak próbuję narysować tę dystrybuantę w excelu, to niestety za nic w świecie wykres ten dystrybuanty nie przypomina... nie mogę znaleźć gdzie jest błąd..

[chris_f]

Dlaczego? Wszystko wychodzi w porządku.
Dla \(\displaystyle{ x\in(-15,-5]}\) będziemy mieli
\(\displaystyle{ F(x)=\int\limits_{-15}^x \frac{(15+t)^2}{2000}dt=\frac{(15+x)^3}{6000}}\)

Dla \(\displaystyle{ x\in(-5,5]}\) dostaniemy
\(\displaystyle{ F(x)=\frac16+\int\limits_{-5}^x \frac{75-t^2}{1000}dt=\frac16+\frac{-x^3+225x+1000}{3000}}\)

I wreszcie dla \(\displaystyle{ x\in(5,15]}\) mamy
\(\displaystyle{ F(x)=\frac56+\int\limits_{5}^x \frac{(15-t)^2}{2000}dt=\frac56-\frac{(15-x)^3}{6000}+\frac16=1-\frac{(15-x)^3}{6000}}\)

I wykres wychodzi bardzo ładnie, wręcz modelowo, w Excelu przy użyciu argumentów co 0,2 dostaniemy coś takiego.



PS. A chyba się domyślam. Pisząc w pierwszym poście zapomniałem o dodawaniu odpowiednio \(\displaystyle{ \frac16}\) w drugim wzorze na dystrybuantę i \(\displaystyle{ \frac56}\) w trzecim. Bierze się to z definicji dystrybuanty, u nas np. dla \(\displaystyle{ xin[-5,5)}\) mamy
\(\displaystyle{ F(x)=\int\limits_{-\infty}^xf(x)=\int\limits_{-\infty}^{-5}f(x)+\int\limits_{-5}^xf(x)=\frac16+\int\limits_{-5}^xf(x)}\)

Podobnie, dla \(\displaystyle{ x\in[5,15]}\) mamy
\(\displaystyle{ F(x)=\int\limits_{-\infty}^xf(x)=\int\limits_{-\infty}^{5}f(x)+\int\limits_{5}^xf(x)=\frac56+\int\limits_{5}^xf(x)}\)
i stąd widać skąd biorą się te ułamki.