Odchylenie od rozkladu normalnego dla "n" prób.

[kefirrozkosz]

Witam.w jaki sposob obliczyc takie zadanie.Mamy zmienne ktore rozkladaja sie zgodnie z rozkaldem normalnym.Bierzemy np.\(\displaystyle{ 100}\) wartosci (dowolna liczbe) i jakie bedzie prawdopodobienstwo ze wartość srednia z tych \(\displaystyle{ 100}\) bedzie rozna od sredniej(z rozkladu normalnego) o np.\(\displaystyle{ 2}\) (dowolna liczbe).

[kieubass]

Bez podania konkretnych parametrów rozkładu \(\displaystyle{ \script{N}\left( \mu , \sigma ^{2} \right)}\) raczej ciężko będzie zrobić to zadanie Podaj więc konkretne parametry, konkretną liczbę o jaką jest to odchylone od średniej i wtedy coś się poradzi

[kefirrozkosz]

Więc np. Rozkład normalny o średniej:0 i odchyleniu 1. Bierzemy 10 przypadków z tego rozkładu i jakie jest prawdopodobieństwo tego ,że średnia z tych 10 będzie wynosić 1,2?

[kieubass]

Niestety bardzo mi przykro, ale polecenie że średnia ma być równa \(\displaystyle{ 1,2}\) nie ma sensu. Prawdopodobieństwo (dystrybuanta) to całka (pole) z gęstości po tym przedziale A przecież całka po jednym punkcie to zero Zresztą druga sprawa, skoro wartość oczekiwana rozkładu (inaczej wartość średnia) jest zerem, a wariancja jest równa jeden, to jakim cudem średnia może przyjąć wartość \(\displaystyle{ 1,2}\)? pojedyncza wartość zmiennej może tyle wynieść, prawdopodobieństwo będzie równe maksymalnie \(\displaystyle{ 31 \%}\) co wynika z reguły trzech sigm, pomyśl dlaczego? Polecam się z nią zapoznać, jest naprawdę prosta, włącznie z dowodem, a czasem pozwala na logiczne podejście do tematu:

... m_709.html

Więc najsampierw trzeba przeformułować Twoje polecenie

\(\displaystyle{ P\left( X \le 1,2\right)}\)

Spróbuj się za to wziąć Podpowiem, ze skoro już masz rozkład \(\displaystyle{ N\left( 0,1\right)}\) to sprawa jest banalna

[kefirrozkosz]

Ma sens! Chodziło mi o to ,że zmienne mają rozkład normalny o parametrach (0,1) i losujemy 10 liczb z takiego rozkładu i obliczamy ich śrenią(Nie średnią z liczby 10: P).I teraz prawdopodobieństwo ,że średnia z tych 10 liczb będzie wynosiła 1,2!!!: P Oczywiście prawdopodobieństwo to będzie bardzo małe.Nie wiem czemu uważasz ,że średnia ta nie może wynieść 1,2 ,skoro pojedyńcza liczba wylosowana z tego rozkładu może mieć wartość 1,2 z prawdopodobieństwem ok 12%.

-- 19 gru 2013, o 13:11 --

Innymi słowy jaki będzie rozkład prawdopodobieństwa dla średniej z jakiejś ilośći x licz wylosowanej z jakiegoś dowolnego rozkładu. No bo rozkład prawdopodobieństwa dla pojedyńczej liczby jest oczywiście prosty:P-- 19 gru 2013, o 13:12 --Pamiętam ,że gdzieś rozwiązywałem takie zadania ,ale nie umiem znalezc teraz.

[kieubass]

Hmm... Trochę pomyślałem dzisiaj o tym co Ci napisałem, a teraz jeszcze ten post Zapędziłem się Ale nadrobię

Oczywiście można policzyć prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna będzie mniejsza równa \(\displaystyle{ 1,2}\) Czyli:

\(\displaystyle{ P\left( \bar{X}_{10} \le 1,2\right)}\)

Do tego celu musimy poznać rozkład naszej średniej arytmetycznej z 10 liczb

Wiedząc, że \(\displaystyle{ X_{1}\sim N\left( 0,1\right)}\) mamy:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}\bar{X}_{10} = \mathbb{E} \frac{S_{10}}{10} = \frac{1}{10} \mathbb{E}S_{10} = \frac{1}{10} \mathbb{E} \sum_{i=1}^{10} X_{i} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} \mathbb{E}X_{i} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10}0 = \frac{1}{10}\cdot 10\cdot 0 = 0 = \mu}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{D}^{2}\bar{X}_{10} = \mathbb{D}^{2} \frac{S_{10}}{10} = \frac{1}{10^{2}} \mathbb{D}^{2}S_{10} = \frac{1}{100} \mathbb{D}^{2} \sum_{i=1}^{10} X_{i} \stackrel{nzl}{=} \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{10} \mathbb{D}^{2}X_{i} = \frac{1}{100} \sum_{i=1}^{10}1 = \frac{1}{100}\cdot 10\cdot 1 = \frac{1}{10} = \sigma^{2}}\)

Zatem nasza zmienna losowa \(\displaystyle{ \bar{X}_{10}\sim N\left( 0, \frac{1}{10} \right)}\)

No dobra, ale jeżeli zmienna ma rozkład inny niż standardowy, to nie da rady odczytać tego z tablic, bo ich nie ma Więc ją sobie ustandaryzujemy, pamiętając że odejmując od zmiennej jej wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ \mu}\), a potem dzieląc to przez pierwiastek z wariancji \(\displaystyle{ \sigma^{2}}\), to ta nowa zmienna ma rozkład standaryzowany Gaussa \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Zrobimy to więc

\(\displaystyle{ \bar{X}_{10}\sim N\left( 0, \frac{1}{10} \right) \Rightarrow \frac{\bar{X}_{10}-\mu}{\sigma} = \frac{\bar{X}_{10}-0}{ \sqrt{ \frac{1}{10} }} = \sqrt{10} \bar{X}_{10} \sim N(0,1)}\) I ustandaryzowaliśmy zmienną którą w skrócie zdefiniujemy \(\displaystyle{ V:=\sqrt{10} \bar{X}_{10}}\) Zatem:

\(\displaystyle{ P\left( \bar{X}_{10} \le 1,2\right) = P\left( \sqrt{10} \bar{X}_{10} \le 1,2 \sqrt{10} \right) \approx P\left( V \le 1,2 \cdot 3,16 \right) = P\left( V \le 3,792 \right) = \Phi\left( 3,792\right) = 0,99992}\)

Zatem tak jak powiedziałem, prawdopodobieństwo że wartość średniej arytmetycznej \(\displaystyle{ 10}\) wyników jest większa od \(\displaystyle{ 1,2}\) jest maciupeńkie, bo wynosi \(\displaystyle{ 1-0,99992 = 0,00008}\), ale jednak możliwe -- 19 gru 2013, o 21:47 --

(Nie średnią z liczby 10: P).I teraz prawdopodobieństwo ,że średnia z tych 10 liczb będzie wynosiła 1,2!!!: P

Aż o takiej głupocie nie pomyślałem i NIE KRZYCZ NA MNIEEEEEEEEEEE!!! xD
No tak jakoś mi się ubzdurało, pomroczność jasna, widocznie jeszcze dobrze się nie obudziłem ;D
Ale już się jakoś poprawiłem