Estymatory i przedziały ufności.

[vladdracul]

Witajcie, mam 2 zadania, które zacząłem ale chyba zabrnąłem w ślepą uliczkę.
Zad1.
\(\displaystyle{ Y_{1}, Y_{2}, ... , Y_{n}}\) - próba z rozkładu o zadanej gestości:
\(\displaystyle{ f(y)=\begin{cases} 3 a^{3} y^{-4} , gdy 9<y<\lambda \\0 w p.p.\end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \lambda>0}\) jest nieznanym parametrem. Wyznaczyć błąd średniokwadratowy estymatora \(\displaystyle{ \lambda^{-} =min(Y_{1}, Y_{2}, ... , Y_{n})}\)
Zad2.
Dana jest zmienna losowa X o gęstości:
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \frac{2(a-x)}{a ^{2} } , gdy 0<x<a \\0 w p.p.\end{cases}}\)
Wykaż, że \(\displaystyle{ V= \frac{X}{a}}\) jest kluczową zmienna losową dla parametru a.

Ad1.
Najpierw policzyłem dystrybuantę z tej danej gęstości, wyszła mi taka:
\(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases} - \lambda^{3} x^{-3}+1 dla \lambda<x \\0 w p.p.\end{cases}}\).

Następnie wyznaczyłem dystrybuantę G(x) tego estymatora mniej więcej w ten sposób:
\(\displaystyle{ P( \lambda^{-}>x)=...= (1-F(x))^{n}=G(x)}\)
Czyli dystrybuanta G(x) ma następującą postać:
\(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases} ((3 \lambda^{3} x^{-3}) ^{n} dla \lambda<x \\0 w p.p.\end{cases}}\).

Czy ta dystrybuanta jest dobrze wyznaczona? Jeśli to będzie dobrze zrobione to dalej dość latwo będzie już wyznaczyć ten błąd średniokwadratowy.

Ad2. Są dwa warunki, które zmienna musi spełniać, aby byc kluczowa:
1) Jest funkcją próby losowej i nieznanego parametru, i nie zależy od żadnej innej nieznanej wartości - to widać.
2) Rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej jest taki sam, niezależnie od tego, jaką wartość ma nieznany parametr - i tu mam problem, jak wyznaczyć ten rozkład prawdopodobieństwa? Nie wiem jak to ugryźć.