Testy istotności dla średniej

[luki1992]

Witam, bardzo proszę o pomoc, bo już wariuję. Wydaję mi się, że dobrze robię te zadania, a potem w odpowiedziach jest odwrotnie. Proszę o wskazówki jeśli coś jest źle do tych dwóch zadań.

W stołówce studenckiej zbadano \(\displaystyle{ 160}\) posiłków i stwierdzono, że srednio zawierały one \(\displaystyle{ 3060}\) kcal, przy odchyleniu standardowym równym \(\displaystyle{ 460}\) kcal. Wiadomo, że dzienne zapotrzebowanie studenta na kalorie jest równe \(\displaystyle{ 3000}\) kcal. Na poziomie istotności \(\displaystyle{ 0,05}\) zweryfikuj hipotezę, że kaloryczność posiłków jest zgodna z normą.

Czyli mamy hipotezy: \(\displaystyle{ H_{0}=3000}\) oraz \(\displaystyle{ H_{1} \neq 3000}\)

I liczymy: \(\displaystyle{ z= \frac{3060-3000}{460} \cdot \sqrt{160} =1,644}\)

Teraz obliczamy nasze \(\displaystyle{ z_{ \alpha }=1,96}\), czyli obszarem krytycznym jest przedział \(\displaystyle{ (- \infty ; -1,96) \cup (1,96; \infty}\) i mamy, że nie zawiera się w tym przedziale i nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, a w odpowiedziach jest odwrotnie już sam nie wiem.

I drugie:

Z badań pilotażowych wynika, że studenci są skłonni wydać w ciągu roku akademickiego nie więcej niż \(\displaystyle{ 850}\) zł/osobę na cele kulturalne. W losowej próbie \(\displaystyle{ n=1420}\) studentów średni poziom wydatków na cele kulturalne był równy \(\displaystyle{ 920}\) zł/osobę przy wariancji \(\displaystyle{ 14400}\) zł/osobę\(\displaystyle{ ^{2}}\). Czy jest uzasadnione potwierdzenie (na poziomie istotności \(\displaystyle{ 5%}\) wyniku badań pilotażowych.

No więc mamy: \(\displaystyle{ H_{0}=850}\) oraz \(\displaystyle{ H_{1} < 850}\) czyli mamy tutaj lewostronny obszar krytyczny.

I liczymy \(\displaystyle{ z= \frac{920-850}{120} \cdot \sqrt{1420} =21,97}\)

Teraz obliczamy nasze \(\displaystyle{ z_{ \alpha }=-1,96}\) czyli obszarem krytycznym jest przedział \(\displaystyle{ (- \infty ; -1,96)}\) i ta wartość nie należy do tego przedziału, czyli brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, a w książce jest odwrotnie. Proszę o jakieś wskazówki jeśli robię coś źle. Będę bardzo wdzięczny

[szw1710]

1. Twoja odpowiedź jest OK.
2. Skoro średnia w próbie to 920, uzasadniona jest hipoteza alternatywna prawostronna. Ty bierzesz lewostronną.

[luki1992]

A to nie jest tak, że Hipoteza alternatywna tzn. jej znak w zasadzie, wskazuje nam jaki będzie obszar krytyczny?

[szw1710]

Jak będzie dla hipotezy prawostronnej?

[luki1992]

Aa rzeczywiście, czyli powiedz mi czy dobrze rozumuję, że znak tej hipotezy wyznaczamy po prostu na podstawie tego czy \(\displaystyle{ m}\) jest większe, czy mniejsze od \(\displaystyle{ m _{0}}\), a nie od tego, że mamy np. w zadaniu "że studenci są skłonni wydać więcej niż..." ?

-- 30 listopada 2013, 18:24 --

I jeszcze miałbym takie pytanie, co w przypadku gdy nie mamy podanego w zadaniu poziomu istotności \(\displaystyle{ \alpha}\)? Trzeba go jakoś oszacować czy przyjąć \(\displaystyle{ \alpha =0,05}\)?

[szw1710]

Jeśli w zadaniu jest napisane, że są skłonni wydać więcej ni niż..., to hipoteza prawostronna narzuca się sama. A postać hipotezy alternatywnej bardzo często wynika z kontekstu.

W Twoim zadaniu wartość statystyki testowej jest tak wielka, że przewyższa wszystkie kwantyle na sensownych poziomach istotności. Więc tutaj poziom istotności nie jest ważny.

W testowaniu hipotez stosuje się jeszcze p-wartości (p-values). p-wartość w danym teście to minimalny poziom istotności, na którym odrzucamy \(\displaystyle{ H_0}\).

Zobacz np.

Kod: Zaznacz cały

> # Rozkład jazdy pewnego autobusu przewiduje 60-minutowy czas trwania
> # kursu. Zbadano czasy 10 losowo wybranych kursów otrzymując dane
> # (w minutach): 48, 67, 42, 69, 64, 61, 53, 57, 63, 51. Czas trwania
> # kursu ma rozkład normalny. Na poziomie istotności 5% zweryfikować
> # hipotezę o średnim 60-minutowym czasie trwania kursu.
> 
> czasy=c(48,67,42,69,64,61,53,57,63,51)
> t.test(czasy,mu=60)

	One Sample t-test

data:  czasy
t = -0.8961, df = 9, p-value = 0.3935
alternative hypothesis: true mean is not equal to 60
95 percent confidence interval:
 51.18889 63.81111
sample estimates:
mean of x 
     57.5 

p-wartość \(\displaystyle{ 0.3935}\) oznacza tu, że na poziomach istotności poniżej \(\displaystyle{ 0.3935}\) brak podstaw do odrzucenia \(\displaystyle{ H_0:m=60}\) (przy \(\displaystyle{ H_1}\) obustronnej). Więc w zasadzie na każdym sensownym poziomie istotności brak podstaw do odrzucenia \(\displaystyle{ H_0}\).

[luki1992]

Te p-values myślę, że nie będą mi na razie potrzebne, ale dzięki za informacje, że istnieje coś takiego. Akurat w tym drugim zadaniu miałem podany poziom istotności, ale co wtedy gdy próba jest mała, a ten poziom podany nie jest? Wtedy wystarczy założyć tak jak pisałem \(\displaystyle{ \alpha =0,05}\)? Wybacz, że tak męczę, ale nie chce mieć już na przyszłość z tym żadnych problemów

[szw1710]

Jeśli statystyka testowa odbiega od kwantyli, sprawa nie jest ważna. Jeśli jest w zakresie ich zmienności, musisz zdecydować o jakimś poziomie mówiąc, że np. na poziomie 0.05 brak podstaw, ale na poziomie 0.07 odrzucamy.

[luki1992]

Ok dzięki wielkie za pomoc