Prawdopodobieństwo wykrycia awarii

[patpat71]

Witam,
Mam pilnie do rozwiązania zadanie, które wydaje mi się, że wiem jak zrobić, ale wartości wychodzą dziwne. Stąd proszę o pomoc. Zadanie poniżej:

Prawdopodobieństwo wykrycia awarii przyrządów pomiarowych ma rozkład wykładniczy z parametrem λ=3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że konserwator wykryje awarię:
a. W czasie krótszym niż 7 minut?
b. W czasie dłuższym niż 5 minut?

Wiem, że należy skorzystać z dystrybuanty w rozkładzie wykładniczym ciągłym.
Doszedłem do następujących obliczeń:
\(\displaystyle{ a. P\left(X<7\right) = F\left(7\right) = 1-e^{\left(-\lambda \cdot X\right)} = 1-e^{\left( -3 \cdot 7\right)} = 1-e^{-21} = 0,99999999924}\)
\(\displaystyle{ b. P\left( X>5\right) = 1-F\left( 5\right) = e^{\left(-\lambda \cdot X\right)} = e^{\left( -3 \cdot 5\right)} = 1-e ^{-15} = 0,00000030591}\)

Jednak z moich poszukiwań zauważyłem, że w tego typu zadaniach zwykle wyniki ograniczały się do liczb rzędu 0,21; 0,56; 0,84 a nie były tak skrajnie duże lub skrajnie małe.
Zawsze w wykładniku pojawiał się jakiś ułamek, który sprawiał, że potęga liczby e nie była taka mała jak -15 czy -21 jak w tym przypadku. Czy jest coś nie tak z jednostką? Może minuty trzeba zamienić na godziny i wtedy lepiej to będzie wyglądało, jeśli zamiast 7 będzie 7/60.

Będę wdzięczny za pomoc!!
Dzięki z góry -- 27 lis 2013, o 00:20 --robertm19, dzięki za szybką odpowiedź dziś rano!

Otóż przykład rozwiązany w książce jest taki:

W ciągu minuty na drukarkę spływają średnio dwa pliki, a czas pomiędzy pojawieniem się
plików jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym. Należy znaleźć
prawdopodobieństwo, iż czas pomiędzy pojawieniem się dwóch kolejnych plików jest:
a) dłuższy od 1,5 min,
b) krótszy od 15 s.

Rozwiązanie:
Ponieważ w ciągu minuty, pojawiają się dwa pliki to λ = 2
\(\displaystyle{ a. P\left(T>1,5\right) = e^{\left(-2 \cdot 1,5\right)} = e^{\left( -3\right)} = 0,0502}\)
\(\displaystyle{ b. P\left( T<0,25\right) = 1-P\left( T>0,25\right) = 1-e^{\left(-2 \cdot 0,25\right)} = 1-0,6065 = 0,3935}\)

Wcześniej w teorii też jest podany wzór: \(\displaystyle{ P\left(T<t\right) = 1-e^{\left(-\lambda \cdot t\right)}}\)
Stąd pojawiły się moje wątpliwości, co do jednostki, gdyż te wartości są stanowczo zbyt skrajne.

Myślisz, że w tym wypadku mogę użyć wzoru: \(\displaystyle{ P\left(T<t\right) = 1-e^{\left(-\frac{1}{\lambda} \cdot t\right)}}\)?
Bo z taką wersją też się spotkałem.

[xanowron]

(...)
Otóż przykład rozwiązany w książce jest taki:

W ciągu minuty na drukarkę spływają średnio dwa pliki, a czas pomiędzy pojawieniem się
plików jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym. Należy znaleźć
prawdopodobieństwo, iż czas pomiędzy pojawieniem się dwóch kolejnych plików jest:
a) dłuższy od 1,5 min,
b) krótszy od 15 s.

Rozwiązanie:
Ponieważ w ciągu minuty, pojawiają się dwa pliki to λ = 2 (...)

Jeżeli zmienna losowa \(\displaystyle{ \mathit{X}}\) ma rozkład wykładniczy i jej średnia (wartość oczekiwana) wynosi \(\displaystyle{ \lambda}\) to parametrem rozkładu jest \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda}}\).
Zatem jeśli w jednostce czasu (tutaj minuta) średnio pojawiają się 2 pliki, to parametrem rozkładu jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a nie 2. Teraz wyniki powinny być "mniej dziwne"

[patpat71]

Wielkie dzięki za pomoc!

Czyli rozumiem, że przekładając rozumowanie, które przytoczyłeś na przykładzie rozwiązania w książce, mogę tak samo postąpić w przypadku zadania, które podałem na początku.

Zatem parametr \(\displaystyle{ \lambda =3}\) przy wyznaczaniu prawdopodobieństwa wykrycia awarii też należy wrzucić do mianownika w wykładniku, aby wynik wyszedł poprawny?

[xanowron]

Nie, to tak nie działa. Trochę zapędziłem się z odpowiedzią wyżej. Najpierw trzeba zapytać jak definiujesz rozkład wykładniczy, bo można robić to na dwa sposoby.

W pierwszym (o którym napisałem), zmienna o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_1}\), ma gęstość równą \(\displaystyle{ g(x;\lambda_1)=\lambda_1 e^{-\lambda_1 x}}\) i wartość oczekiwana (średnia) takiej zmiennej to \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda_1}}\).

W drugim sposobie zmienna o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_2}\) ma gęstość równą \(\displaystyle{ g(x;\lambda_2)=\frac{1}{\lambda_2} e^{-\frac{1}{\lambda_2} x}}\), a jej średnia to \(\displaystyle{ \lambda_2}\).

Oczywiście \(\displaystyle{ \lambda_1=\frac{1}{\lambda_2}}\).

Zatem zanim zaczniesz rozwiązywać zadanie, musisz ustalić jakiej parametryzacji używasz, bez tego ani rusz.

[patpat71]

Rozumiem. Czyli wszystko zależy od moich założeń?
Zatem dostając na twarz takie zadanie...

Prawdopodobieństwo wykrycia awarii przyrządów pomiarowych ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=3}\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że konserwator wykryje awarię:
a. W czasie krótszym niż 7 minut?
b. W czasie dłuższym niż 5 minut?

... rozpisuję założenia i sam decyduję, czy do wzoru użyję parametru \(\displaystyle{ \lambda}\) czy \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda}}\)?

Tak na dobrą sprawę niepotrzebna jest mi tutaj funkcja gęstości, bo jedyną rzeczą, którą muszę obliczyć jest prawdopodobieństwo, które wyznacza się zależnością od dystrybuanty. Więc muszę tylko wiedzieć, jaki zastosować wzór na dystrybuantę. Stąd moje wątpliwości, co do tych założeń, które mam zrobić, bo nie wiem, na ile to moja decyzja, a na ile założenia zależą od treści zadania.

Zadanie wydaje się dziecinnie proste, bo na dobrą sprawę wszystkie dane mam, z tą różnicą, że te wartości wychodzą takie jakie wychodzą, co raczej nie jest poprawne...

\(\displaystyle{ a. P\left(X<7\right) = F\left(7\right) = 1-e^{\left(-\lambda \cdot X\right)} = 1-e^{\left( -3 \cdot 7\right)} = 1-e^{-21} = 0,99999999924}\)
\(\displaystyle{ b. P\left( X>5\right) = 1-F\left( 5\right) = e^{\left(-\lambda \cdot X\right)} = e^{\left( -3 \cdot 5\right)} = e ^{-15} = 0,00000030591}\)

Pomocy...

[xanowron]

Zatem dostając na twarz takie zadanie...

Prawdopodobieństwo wykrycia awarii przyrządów pomiarowych ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=3}\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że konserwator wykryje awarię:
a. W czasie krótszym niż 7 minut?
b. W czasie dłuższym niż 5 minut?

... rozpisuję założenia i sam decyduję, czy do wzoru użyję parametru \(\displaystyle{ \lambda}\) czy \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda}}\)?

Nie. Wcześniej musisz wiedzieć z jakiej parametryzacji korzystasz (na wykładzie na pewno było to dokładnie wprowadzone, jeżeli korzystasz z innych źródeł zadań to sprawdź jak w danym podręczniku/zbiorze zadań/skrypcie definiuje się rozkład wykładniczy i tego się trzymaj).

Tak na dobrą sprawę niepotrzebna jest mi tutaj funkcja gęstości, bo jedyną rzeczą, którą muszę obliczyć jest prawdopodobieństwo, które wyznacza się zależnością od dystrybuanty. Więc muszę tylko wiedzieć, jaki zastosować wzór na dystrybuantę. Stąd moje wątpliwości, co do tych założeń, które mam zrobić, bo nie wiem, na ile to moja decyzja, a na ile założenia zależą od treści zadania.

Mam wrażenie, że nie do końca rozumiesz czym jest rozkład. Gęstość i dystrybuanta jednoznacznie go wyznaczają i są ze sobą bezpośrednio związane, mając gęstość masz dystrybuantę i vice versa.
Jeżeli korzystasz z różnych źródeł zadań to bardzo możliwe, że definicje są różne.


Obie parametryzacje mają swoje interpretacje "fizyczne", może to Ci trochę rozjaśni.

W przypadku definicji pierwszej

zmienna o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_1}\), ma gęstość równą \(\displaystyle{ g(x;\lambda_1)=\lambda_1 e^{-\lambda_1 x}}\) i wartość oczekiwana (średnia) takiej zmiennej to \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda_1}}\).

zmienną o takim rozkładzie możemy interpretować jako czas oczekiwania na jakieś wydarzenie. Średni czas oczekiwania to \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda_1}}\), więc im \(\displaystyle{ \lambda_1}\) większa tym średni czas oczekiwania mniejszy. Zatem parametr \(\displaystyle{ \lambda_1}\) możemy rozumieć jako "częstość" pojawiania się wydarzenia w jednostce czasu.

W drugim przypadku zmienną o takim rozkładzie możemy interpretować jako czas życia np żarówki . Wtedy średni czas życia jest równy dokładnie parametrowi \(\displaystyle{ \lambda_2}\) rozkładu i użycie takiej parametryzacji jest po prostu wygodniejsze i (być może) nieco bardziej intuicyjne.

[patpat71]

Dzięki, xanowron! Już teraz jest wszystko jaśniejsze. Ostatnia już tylko kwestia, jeśli można...

Gdyż, prawdę mówiąc, nie bardzo chcę się sugerować moim skryptem, bo tam jest podana wersja \(\displaystyle{ \lambda_1}\) z Twoich przykładów, czyli w wykładniku jest \(\displaystyle{ -\lambda \cdot t}\). A stosując się do niej wyniki są beznadziejne - te, które wcześniej prezentowałem.

Wolałbym jednak spróbować tak zinterpretować to zadanie, żeby sprowadzić je do postaci wykładnika \(\displaystyle{ - \frac{t}{\lambda}}\), bo wówczas wychodzą wartości rzędu 0,93 i 0,81 (jeśli dobrze pamiętam), co jest bardziej prawdopodobne, że to właśnie jest prawidłowy wynik.

Nie chodzi mi o to, żeby stosować się w 100% do skryptu i otrzymywać dziwne wyniki, ale raczej staram się zrozumieć istotę, żeby to co wyjdzie móc w miarę sensownie zinterpretować.

Wnioskuję z Twojego postu, że chodzi tutaj głównie o interpretację parametru \(\displaystyle{ \lambda}\).
Pojawia się zatem pytanie: jak go zinterpretować, aby móc powiedzieć, że podana w zadaniu \(\displaystyle{ \lambda=3}\) jest moją wartością oczekiwaną, a nie jej odwrotnością, abym mógł po przekształceniu otrzymać wzór na dystrybuantę \(\displaystyle{ P\left(T<t\right) = 1-e^{\left(-\frac{1}{\lambda} \cdot t\right)}}\)?

Najprostszą interpretacją byłoby to, że lambda 3 oznacza częstość występowania awarii, czyli musiałbym zastosować pierwszy scenariusz z lambdą \(\displaystyle{ \lambda_1}\), ale tego bym nie chciał.

Więc może by tę lambdę =3 zinterpretować, jako średni czas oczekiwania na wykrycie awarii czyli moją wartością oczekiwaną byłaby wartość \(\displaystyle{ \lambda}\),a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda}}\), co bardziej mógłbym podciągnąć pod wspomniany przez Ciebie drugi scenariusz i otrzymać pożądany wykładnik \(\displaystyle{ - \frac{t}{\lambda}}\). Ma sens?

Z góry dzięki za pomoc!!! (obiecuję, że to już ostatni post w tej sprawie)
Pozdrawiam!

[xanowron]

Ukryta treść:    

Dzięki, xanowron! Już teraz jest wszystko jaśniejsze. Ostatnia już tylko kwestia, jeśli można...

Gdyż, prawdę mówiąc, nie bardzo chcę się sugerować moim skryptem, bo tam jest podana wersja \(\displaystyle{ \lambda_1}\) z Twoich przykładów, czyli w wykładniku jest \(\displaystyle{ -\lambda \cdot t}\). A stosując się do niej wyniki są beznadziejne - te, które wcześniej prezentowałem.

Wolałbym jednak spróbować tak zinterpretować to zadanie, żeby sprowadzić je do postaci wykładnika \(\displaystyle{ - \frac{t}{\lambda}}\), bo wówczas wychodzą wartości rzędu 0,93 i 0,81 (jeśli dobrze pamiętam), co jest bardziej prawdopodobne, że to właśnie jest prawidłowy wynik.

Nie chodzi mi o to, żeby stosować się w 100% do skryptu i otrzymywać dziwne wyniki, ale raczej staram się zrozumieć istotę, żeby to co wyjdzie móc w miarę sensownie zinterpretować.

Wnioskuję z Twojego postu, że chodzi tutaj głównie o interpretację parametru \(\displaystyle{ \lambda}\).
Pojawia się zatem pytanie: jak go zinterpretować, aby móc powiedzieć, że podana w zadaniu \(\displaystyle{ \lambda=3}\) jest moją wartością oczekiwaną, a nie jej odwrotnością, abym mógł po przekształceniu otrzymać wzór na dystrybuantę \(\displaystyle{ P\left(T<t\right) = 1-e^{\left(-\frac{1}{\lambda} \cdot t\right)}}\)?

Najprostszą interpretacją byłoby to, że lambda 3 oznacza częstość występowania awarii, czyli musiałbym zastosować pierwszy scenariusz z lambdą \(\displaystyle{ \lambda_1}\), ale tego bym nie chciał.

Więc może by tę lambdę =3 zinterpretować, jako średni czas oczekiwania na wykrycie awarii czyli moją wartością oczekiwaną byłaby wartość \(\displaystyle{ \lambda}\),a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda}}\), co bardziej mógłbym podciągnąć pod wspomniany przez Ciebie drugi scenariusz i otrzymać pożądany wykładnik \(\displaystyle{ - \frac{t}{\lambda}}\). Ma sens?

Z góry dzięki za pomoc!!! (obiecuję, że to już ostatni post w tej sprawie)
Pozdrawiam!

ZAZWYCZAJ w zadaniach w których pytamy o prawdopodobieństwo awarii, parametr \(\displaystyle{ \lambda}\) jest odwrotnością średniej z rozkładu - tzn. jest częstością pojawiania się awarii w jednostce czasu - więc istotnie jest sensownym przyjęcie takiej parametryzacji. Dla bezpieczeństwa (jeśli z zadania nie da się w miarę jednoznacznie wywnioskować jaki model przyjmujemy) polecam napisanie w 1-2 zdaniach uzasadnienia dlaczego za parametr rozkładu przyjmujemy średnią/odwrotność średniej, wtedy nikt nie będzie miał prawa się do Ciebie przyczepić, że coś źle policzyłeś.

[patpat71]

Tak właśnie zrobię!
Pozdrawiam i jeszcze raz wielkie dzięki za pomoc!