Mam pewien wektor losowy X o znanej kowariancji Cov(X).
Przeprowadzam ten wektor przez pewien proces nieliniowy jak poniżej:
Y=f(X) w konsekwencji czego dostaję wektor Y.
Załóżmy, że potrafię wyznaczyć i znam przybliżoną Cov(Y). (Przykładowo za pomocą punktów sigma).
Czy mogę wyznaczyć jakoś Cov(X,Y) na podstawie znajomości Cov(X) i Cov(Y) ?
Wiem, że jest sposób na wyznaczenie takiej kowariancji za pomocą metody punktów sigma wektora X i wektora Y (i faktycznie mam dostępne punkty sigma wektora Y które są niezbędne do wyznaczenia Cov(Y) ), jednak w takiej metodzie byłbym zmuszony 'rozłożyć' Cov(X) na punkty sigma i liczyć Cov(X,Y) niejako z definicji mając dostępną 'populację' wektorów X i Y. Nie chciałbym jednak rozkładać Cov(X) na punkty sigma bo wtedy gubię część informacji o Cov(X) (nie jest to odwzorowanie idealne).
Przychodzi mi na myśl rozłożenie Cov(X) na takie wektory \(\displaystyle{ X _{i}}\) aby:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} X_{i} \cdot X_{i}^T}\)=Cov(X)
wtedy mógłbym wyznaczyć Cov(X,Y) następująco:
\(\displaystyle{ Cov(X,Y)= \sum_{}^{} X_{i} \cdot (Y_{i}-y)^{T}}\) (oczywiście wzór nie jest dokładny bo uwzględnia się jeszcze stałe współczynniki ale z grubsza wiadomo o co chodzi)
y - to punkt centralny punktów \(\displaystyle{ Y_{i}}\).
Da się to jakoś wykonać?
-- 22 lis 2013, o 15:18 --
Dodam tylko, że jeśli chodzi o punkty sigma mam na myśli z ang. Unscented transform. Nie wiem jak to na polski będzie (transformacja bezśladowa?). Tak naprawdę nie wiem czy w Polsce używa się nazwy punktów sigma - dlatego dodaje.
-- 23 lis 2013, o 18:22 --
Ok problem rozwiązany. Musze przyznać, że to co napisałem nie do końca jest ścisłe i poprawne matematycznie - ale mniejsza o to.
A co do rozwiązania to jednak okazuje się (mój błąd że nie sprawdziłem tego wcześniej), że rozłożenie kowariancji na punkty Sigma dokładnie odwzorowuje tą kowariancję. Dopiero przeprowadzenie tak rozłożonej kowariancji przez proces nieliniowy powoduje, że ta kowariancja nie jest już dokładnie określona na podstawie tych punktów (jest to jakieś przybliżenie).