Ubezpieczenia majątkowe

[Paylinka07]

Niech \(\displaystyle{ X_{i}}\) oznacza wypłatę ubezpieczyciela z\(\displaystyle{ i-tego}\) ryzyka, a \(\displaystyle{ S = \sum_{i=1}^{n} X_{i}}\) łączną wartość wypłat z portfela składającego się z \(\displaystyle{ n}\) niezależnych ryzyk. Pojedyncze ryzyko może generować co najwyżej jedną szkodę ( o ile do niej dojdzie) jest rozkładem jednostajnym na przedziale\(\displaystyle{ \left\langle 0,20\right\rangle}\). Ubezpieczyciel pokrywa szkody z portfela 300 ryzyk i chce ustalić składkę za \(\displaystyle{ i-te}\) ryzyko według formuły \(\displaystyle{ \Pi \left( X_{i} \right) = E\left( X_{i} \right) + \Theta\left(E\left( X_{i} \right) + \sqrt{Var\left( X_{i} \right) } \right)}\). Jaki powinien on przyjąć współczynnik bezpieczeństwa \(\displaystyle{ \Theta}\), by prawdopodobieństwo poniesienia straty na portfelu ryzyk wynosiło \(\displaystyle{ 0,01}\)? Wiadomo, że rozkład zmiennej \(\displaystyle{ S}\) daje się dobrze aproksymować rozkładem normalnym oraz prawdopodobieństwo, że standaryzowana zmienna normalna przekroczy \(\displaystyle{ 2,33}\) wynosi \(\displaystyle{ 0,01}\). Podać wynik do trzeciego miejsca po przecinku.

\(\displaystyle{ \Pi \left( X_{i} \right) = E\left( X_{i} \right) + \Theta\left(E\left( X_{i} \right) + \sqrt{Var\left( X_{i} \right) } \right)}\)

\(\displaystyle{ P\left( S > \sum_{i=1}^{300} \Pi\left( X_{i} \right) \right) = 0,01}\)
\(\displaystyle{ P\left( \frac{S - E\left( S\right) }{\sigma(S)} > \frac{ \sum_{i=1}^{300} \Pi\left( X_{i} \right) -E\left( S\right) }{\sigma(S) }\right) = 0,01}\)
\(\displaystyle{ P\left( \frac{S - E\left( S\right) }{\sigma(S)} \to Z~N(0,1)}\)
\(\displaystyle{ P\left( Z > \frac{ \sum_{i=1}^{300} \Pi\left( X_{i} \right) -E\left( S\right) }{\sigma(S) } \right) = 0,01}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \sum_{i=1}^{300}\left[ E\left( X_{i} \right) + \Theta\left(E\left( X_{i} \right) + \sqrt{Var\left( X_{i} \right) }\right] -E\left( S\right) }{\sigma(S)} =2,33}\)


\(\displaystyle{ \frac{ \sum_{i=1}^{300} E\left( X_{i} \right) + \sum_{i=1}^{300}\Theta\left(E\left( X_{i} \right) + \sqrt{Var\left( X_{i} \right) } -E\left( X_{i}\right) }{\sigma(S)} =2,33}\)

\(\displaystyle{ \Theta\sum_{i=1}^{300}\left(E\left( X_{i} \right) + \sqrt{Var\left( X_{i} \right) } = =2,33\sigma(S)}\)
\(\displaystyle{ \Theta = \frac{2,33\sigma(S)}{\sum_{i=1}^{300}\left(E\left( X_{i} \right) + \sqrt{Var\left( X_{i} \right) } }}\)

Nie wiem co z tym dalej...