dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa

[Kapitanada]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania pierwszego i sprawdzenie rozwiązań zadań 11 i 12, z góry dziękuję

1.Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przyjmie wartości 1, 2, 3 lub 4 jest określone funkcją \(\displaystyle{ P(X=x) = \frac{x^{2}}{30}}\). Sprawdzić, czy jest to rozkład prawdopodobieństwa. Jeżeli tak to znaleźć prawdopodobieństwa tego, że zmienna losowa przyjmie wartość:
a) mniejszą od 4,
b) większą od 2,
c) mniejszą od 5, ale większą od 2.

11.Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y, która jest polem kwadratu, którego bok jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale (0, a).

Moje rozwiązanie:
X - zmienna losowa - bok kwadratu
ponieważ X ma rozkład jednostajny, możemy zapisać jej dystrybuantę:
\(\displaystyle{ F(X \le x)= \begin{cases} 0 &\text{dla } x<0 \\ \frac{x}{a} &\text{dla } 0 \le x<a \\ 1 &\text{dla } x \ge a \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ F(Y \le y)=F(X^{2} \le y)=F( X \le \sqrt{y}) \Rightarrow x= \sqrt{y}}\)

po podstawieniu:

\(\displaystyle{ F(Y \le y)= \begin{cases} 0 &\text{dla } y<0 \\ \frac{\sqrt{y}}{a} &\text{dla } 0 \le y<a \\ 1 &\text{dla } y \ge a \end{cases}}\)

więc funkcja gęstości będzie miała postać:

\(\displaystyle{ f(y)= \begin{cases} 0 &\text{dla } y<0 \\ \frac{ y^{ \frac{-1}{2} } }{a} &\text{dla } 0 \le y<a \\ 0 &\text{dla } y \ge a \end{cases}}\)

12. Promień koła jest zmienną losową R o gęstości:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} e^{-x} &\text{dla } R \ge 0 \\ 0 &\text{dla } R <0 \end{cases}}\)


Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa g(S) zmiennej losowej \(\displaystyle{ S= \pi r^{2}}\) .

Moje rozwiązanie:
R-zm. losowa - promie koła
szukam dystrybuanty R -> w tym celu całkuję funkcję gęstości:
\(\displaystyle{ F(R \le r)= \begin{cases} -e^{-r} &\text{dla } R \ge 0 \\ 0 &\text{dla } R<0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ F(S \le s)=F( \pi R^{2} \le s)=F(R \le \sqrt{ \frac{s}{ \pi } } ) \Rightarrow r=\sqrt{ \frac{s}{ \pi } }}\)

\(\displaystyle{ F(S \le s)= \begin{cases} -e^{- \sqrt{ \frac{s}{ \pi } } } &\text{dla } \sqrt{ \frac{s}{ \pi } } \ge 0 \\ 0 &\text{dla }\sqrt{ \frac{s}{ \pi } }<0 \end{cases}}\)

ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{s}{ \pi } }}\) nigdy nie jest mniejsze od 0 to:

\(\displaystyle{ F(S \le s)=-e^{-\sqrt{ \frac{s}{ \pi } }}}\)
\(\displaystyle{ g(s)=F'(S \le s)= \frac{1}{ \sqrt{\pi} } e^{-\sqrt{ \frac{s}{ \pi } }}}\)

[Mistrz]

11.
Oznaczenie na dystrybuantę: piszemy \(\displaystyle{ P(X \le t)}\) lub też \(\displaystyle{ F(t)}\), a nie \(\displaystyle{ F(X \le t)}\)
To zadanie masz dobrze, poza tym, że, po pierwsze:
złe przedziały przy \(\displaystyle{ P(Y \le y)}\) - powinno być \(\displaystyle{ 0\le y < a^2}\), a nie \(\displaystyle{ 0\le y < a}\),
po drugie: źle zróżniczkowałaś, powinno być \(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{y}}}\), czyli 2 razy mniej, niż Tobie wyszło

12.
Błąd masz już na samym początku, źle pocałkowałaś. Dystrybuanta to \(\displaystyle{ 1 - e^{-r}}\) dla \(\displaystyle{ r\ge 0}\)

[azraela]

proszę o pomoc w tym zadaniu;
Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z wartością oczekiwaną 12 i wariancją 3.
Znaleźć n i p. Opisać schemat Bernoulliego.