Alternatywna postać wzoru na wariancję

[ptrkmj]

Dla wariancji zdefiniowanej wzorem

\(\displaystyle{ S ^{2} = \frac{1}{n-1} \sum _{i=1} ^{n} ( X _{i} - \overline{X} ) ^{2}}\),

gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest licznością próby, \(\displaystyle{ X _{i}}\) jest wartością i-tej obserwacji, \(\displaystyle{ \overline{X}}\) jest średnią arytmetyczną z wszystkich obserwacji;

pokazać, że zachodzi równoważny wzór

\(\displaystyle{ S ^{2} = \frac{1}{n-1} \left[ \sum _{i=1} ^{n} X _{i} ^{2} - \frac {1}{n} \left( \sum _{i=1} ^{n} X _{i} \right) ^{2} \right]}\).

Próba rozwiązania:

\(\displaystyle{ S ^{2} = \frac{1}{n-1} \sum _{i=1} ^{n} ( X _{i} - \overline{X} ) ^{2} =
\frac{1}{n-1} \left[ \sum _{i=1} ^{n} X _{i} ^{2} - \sum _{i=1} ^{n} ( 2X _{i} \overline{X} - \overline{X} ^{2} ) \right]}\)

Zatem

\(\displaystyle{ \sum _{i=1} ^{n} ( 2X _{i} \overline{X} - \overline{X} ^{2} ) = \frac {1}{n} \left( \sum _{i=1} ^{n} X _{i} \right) ^{2}}\)

Hmm... I co teraz?

[Qń]

Zatem
\(\displaystyle{ \sum _{i=1} ^{n} \left( 2X _{i} \overline{X} - \overline{X} ^{2} \right) = \frac {1}{n} \left( \sum _{i=1} ^{n} X _{i} \right) ^{2}}\)

Tak, to właśnie zostało Ci do udowodnienia. Przekształć:
\(\displaystyle{ \sum _{i=1} ^{n} \left( 2X _{i} \overline{X} - \overline{X} ^{2} \right)=\sum _{i=1} ^{n} 2X _{i} \overline{X} -\sum _{i=1} ^{n} \overline{X} ^{2} = 2\overline{X} \sum _{i=1} ^{n} X_{i}-\overline{X} ^{2}
\sum _{i=1} ^{n} 1}\)
i wystarczy teraz zwinąć drugą sumę, a następnie użyć definicji \(\displaystyle{ \overline{X}}\).

Q.

[ptrkmj]

\(\displaystyle{ 2\overline{X} \sum _{i=1} ^{n} X_{i}-\overline{X} ^{2} \sum _{i=1} ^{n} 1 =
2\overline{X} \sum _{i=1} ^{n} X_{i} - n \overline{X} ^{2} = \\
\frac{2}{n} \sum _{i=1} ^{n} X_{i} \sum _{i=1} ^{n} X_{i} - n \left( \frac{1}{n} \sum _{i=1} ^{n} X_{i} \right) ^{2} =
\frac{2}{n} \left( \sum _{i=1} ^{n} X_{i} \right) ^{2} - \frac{1}{n} \left( \sum _{i=1} ^{n} X_{i} \right) ^{2} = \\
\frac{1}{n} \left( \sum _{i=1} ^{n} X_{i} \right) ^{2}}\)

Udało się! Dziękuję