Wykonuje się pomiary głębokości morza w pewnym miejscu. lu niezależnych pomiarów należy dokonać aby przyjmując poziom ufności 0.99 wyznaczyć głębokość z błędem nie większym niż 5m; jeśli rozkład błędów pomiarów jest normalny i wariancji 180.
Z jakiego wzoru należy skorzystac przy tym zadaniu?
liczebnośc próby
-
Adifek
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
liczebnośc próby
\(\displaystyle{ X_i}\), czyli i-ty pomiar ma rozkład \(\displaystyle{ N(m, 180)}\).
\(\displaystyle{ \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N\left( m, \frac{180}{n} \right)}\)
Najszybciej będzie szacować z nierówności Czebyszewa
\(\displaystyle{ P(|\overline{X}-m| >5 )\le \frac{Var \overline{X}}{25} = \frac{180}{25n} = \frac{36}{5n}}\)
Żeby sprawa strona była mniejsza od \(\displaystyle{ 0,01}\) musi być \(\displaystyle{ n\ge 720}\). Trochę sporo
Możemy więc próbować z reguły trzech sigm:
\(\displaystyle{ P\left( |\overline{X} -m | \le 3\cdot \sqrt{ \frac{1}{n} \cdot 180} \right) \approx 0,997}\).
Wtedy szukamy takiego \(\displaystyle{ n}\), aby było \(\displaystyle{ 3\cdot \sqrt{ \frac{1}{n} \cdot 180} \approx 5}\), co daje \(\displaystyle{ n\ge 65}\).
\(\displaystyle{ \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N\left( m, \frac{180}{n} \right)}\)
Najszybciej będzie szacować z nierówności Czebyszewa
\(\displaystyle{ P(|\overline{X}-m| >5 )\le \frac{Var \overline{X}}{25} = \frac{180}{25n} = \frac{36}{5n}}\)
Żeby sprawa strona była mniejsza od \(\displaystyle{ 0,01}\) musi być \(\displaystyle{ n\ge 720}\). Trochę sporo
Możemy więc próbować z reguły trzech sigm:
\(\displaystyle{ P\left( |\overline{X} -m | \le 3\cdot \sqrt{ \frac{1}{n} \cdot 180} \right) \approx 0,997}\).
Wtedy szukamy takiego \(\displaystyle{ n}\), aby było \(\displaystyle{ 3\cdot \sqrt{ \frac{1}{n} \cdot 180} \approx 5}\), co daje \(\displaystyle{ n\ge 65}\).
liczebnośc próby
przypadkiem nie powinno byc \(\displaystyle{ \sqrt{180}}\)??? bo mamy wariancje 180 a nie odchylenie standardowe
-
Adifek
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
liczebnośc próby
Dla matematyków (w tym i dla mnie ) zapis \(\displaystyle{ N(\mu, \sigma^2 )}\) zwykle oznacza rozkład normalny o średniej \(\displaystyle{ \mu}\) i wariancji \(\displaystyle{ \sigma^2}\). W innych naukach często jako drugi parametr podaje się odchylenie standardowe ze względu na kłopot z jednostkami (np. jeśli mamy rozkład czasu, to jak rozumieć np. godziny do kwadratu?). W obliczeniach wszystko jest OK.
liczebnośc próby
dzięki za pomoc
w sumie znalazłam w książce wzór \(\displaystyle{ n \ge \frac{sigma^2 \cdot \alpha ^2}{d^2}}\) i wyszło mi 17
w sumie znalazłam w książce wzór \(\displaystyle{ n \ge \frac{sigma^2 \cdot \alpha ^2}{d^2}}\) i wyszło mi 17
-
Adifek
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
liczebnośc próby
Twój wzór jest nieprawdziwy i już nawet na oko widać, że wypluł Ci za małą wartość.
Zapewne chodziło Ci o wzór \(\displaystyle{ n \ge \frac{\sigma^2 \cdot z_{1-\alpha \slash 2} ^2}{d^2}}\), gdzie \(\displaystyle{ z_{1-\alpha\slash 2}}\) jest kwantylem rzędu \(\displaystyle{ \alpha}\) rzędu \(\displaystyle{ 1-\alpha \slash 2}\) rozkładu \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Wynika to z postaci przedziału ufności dla średniej rozkładu normalnego
\(\displaystyle{ P \left( \overline{X} - z_{1- \alpha \slash 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \overline{X} + z_{1-\alpha \slash 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) = 1-\alpha}\)
Chcemy aby było \(\displaystyle{ d\ge z_{1-\alpha \slash 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\) i stąd dostajemy żądaną nierówność.
Mamy, że \(\displaystyle{ z_{1-\alpha \slash 2} \approx 2,58}\), więc \(\displaystyle{ n\ge \frac{(2,58)^2 \cdot 180}{25} \approx 47,92}\).
Tak więc potrzeba co najmniej \(\displaystyle{ 48}\) pomiarów. Z charakteru wyprowadzenia wzoru widać, że tego oszacowania już się nie da poprawić.
Zapewne chodziło Ci o wzór \(\displaystyle{ n \ge \frac{\sigma^2 \cdot z_{1-\alpha \slash 2} ^2}{d^2}}\), gdzie \(\displaystyle{ z_{1-\alpha\slash 2}}\) jest kwantylem rzędu \(\displaystyle{ \alpha}\) rzędu \(\displaystyle{ 1-\alpha \slash 2}\) rozkładu \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Wynika to z postaci przedziału ufności dla średniej rozkładu normalnego
\(\displaystyle{ P \left( \overline{X} - z_{1- \alpha \slash 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \overline{X} + z_{1-\alpha \slash 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) = 1-\alpha}\)
Chcemy aby było \(\displaystyle{ d\ge z_{1-\alpha \slash 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\) i stąd dostajemy żądaną nierówność.
Mamy, że \(\displaystyle{ z_{1-\alpha \slash 2} \approx 2,58}\), więc \(\displaystyle{ n\ge \frac{(2,58)^2 \cdot 180}{25} \approx 47,92}\).
Tak więc potrzeba co najmniej \(\displaystyle{ 48}\) pomiarów. Z charakteru wyprowadzenia wzoru widać, że tego oszacowania już się nie da poprawić.