błąd względny w logarytmowaniu

[MissFilet]

Kiedyś pamiętam na jakimś labie z fizyki napotkałem się z tym problemem, ale niestety wyleciało już mi z głowy. Chodzi o wyliczenie błędu względnego. Wiemy, że sumując lub odejmując dwa parametry, należy zsumować ich błędy względne. Mnożąc je lub dzieląc, należy dodać ze sobą błędy bezwzględne, aby otrzymać błąd względny ich produktu. Jak postąpić z błędem względnym wyniku operacji logarytmowania? Czy błąd wyniku operacji jest kwadratem błędu względnego obiektu logarytmowanego?
Ta wiedza jest mi bardzo przydatna w tej chwili, więc proszę się nią podzielić, jeśli wiesz o co chodzi!

[Powermac5500]

Nie wiem czy dobrze rozumiem Twoje pytanie.

Jeśli mamy pewne wartości \(\displaystyle{ x_{i}}\) , które zostały zmierzone z błędem \(\displaystyle{ \Delta x_{i}}\)
a interesuje nas błąd funkcji \(\displaystyle{ f\left( x_{1} , x_{2},..,x_{n} \right)}\)
to liczymy go tak:

\(\displaystyle{ \Delta f = \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{ \partial f (x_{i})}{ \partial x_{i} }\right)^2 \left( \Delta x_{i}\right) ^2 }}\)

[MissFilet]

Czyli w moim przypadku:
\(\displaystyle{ k(x, T(x), T _{0} ) = \frac {1}{x} \ln \left(\frac {T(x)}{T_{0}} \right) \\

\Delta k = \sqrt{ \left( \frac{\partial k(x)}{ \partial x}\right)^2 \left( \Delta x\right)^2+ \left( \frac{\partial k(T(x))}{ \partial T(x)}\right)^2 \left( \Delta T(x)\right)^2 + \left( \frac{\partial k(T_{0})}{ \partial T_{0}}\right)^2 \left( \Delta T_{0}\right)^2}}\)

Będzie to suma iloczynów kwadratów pochodnych wartości składowych i ich błędów. Czy tak obliczę błąd delta k? Jaki to będzie błąd? Względny? Czy bezwzględny tj procentowy?

[Kartezjusz]

Uważaj na masz iloczyn! Na dodatek jeden czynnik jest funkcją złożoną...

[MissFilet]

Nie jestem pewien, czy w ogóle potrzebuję takich skomplikowanych wyliczeń. Znam wartości błędów wzgl dla \(\displaystyle{ T(x), T_0, x}\). Potrafię znaleźć błąd dla \(\displaystyle{ \frac{T(x)} {T_0}}\), bo to jest po prostu suma błędów wzgl. Interesuje mnie tylko jak postąpić z logarytmem...

[Powermac5500]

Masz skorzystać ze wzoru.

Błąd sumy nie jest sumą błędów. Na przykład:
\(\displaystyle{ f(a,b)=a+b}\)
to zgodnie ze wzorem:

\(\displaystyle{ \Delta f= \sqrt{ \left( \frac{ \partial f(a,b) }{ \partial a}\right)^2 \cdot (\Delta a)^2 + \left( \frac{ \partial f(a,b) }{ \partial b}\right)^2 \cdot (\Delta b)^2 }=\sqrt{ (\Delta a)^2 + (\Delta b)^2 }}\)

[MissFilet]

Ok, może napiszę dokładnie, co mi zdążono wbić do głowy. Znając wartości rzeczywiste dla a i b oraz te które udało nam się w jakiś sposób zmierzyć powiedzmy \(\displaystyle{ a_1, b_1}\) wyliczymy z tego niepewność pomiarową, czyli tzw błąd bezwzględny \(\displaystyle{ \epsilon_a, \epsilon_b}\).

\(\displaystyle{ \epsilon_a = a-a_1 \\
\epsilon_b= b-b_1}\)

Dlatego też niepewność pomiarowa sumy a i b to:

\(\displaystyle{ \epsilon_{a+b}=(a + b) \pm ( \epsilon_a + \epsilon_b ) \\}\)

Błąd względny r liczę następująco:

\(\displaystyle{ r_a = \frac{\left| \epsilon_a\right| }{\left| a\right| }}\)

Mając,
\(\displaystyle{ r_{ab} = \left| a \cdot b\right| \cdot (r_a + r_b)}\)

To wynika z operacji algebraicznych. No i dlatego:

\(\displaystyle{ r_{ab}= r_a+r_b}\)

Teraz w podobny sposób chciałbym dowiedzieć się:

\(\displaystyle{ r_{\ln ( \frac{a}{b} )}=?}\)

Myślę, że teraz udało mi się w końcu wytłumaczyć, o co mi tak naprawdę chodzi.

[Powermac5500]

Ok, może napiszę dokładnie, co mi zdążono wbić do głowy. Znając wartości rzeczywiste dla a i b oraz te które udało nam się w jakiś sposób zmierzyć powiedzmy \(\displaystyle{ a_1, b_1}\) wyliczymy z tego niepewność pomiarową, czyli tzw błąd bezwzględny \(\displaystyle{ \epsilon_a, \epsilon_b}\).

\(\displaystyle{ \epsilon_a = a-a_1 \\
\epsilon_b= b-b_1}\)

Dlatego też niepewność pomiarowa sumy a i b to:

\(\displaystyle{ \epsilon_{a+b}=(a + b) \pm ( \epsilon_a + \epsilon_b ) \\}\)

No i w tym miejscu jest nie halo. Bo nie jest to suma niepewności lecz pierwiastek z sumy kwadratów. Być może działamy na podstawie innych metodologii. Mnie uczono teorii niepewności pomiarów na laboratoriach z fizyki. Być może jest jakaś inna dziedzina, gdzie robi się to inaczej.
Co to jest błąd czy też niepewność pomiarowa? To jest pewien przedział tak dobrany, że prawdopodobieństwo znalezienia w tym przedziale rzeczywistej wielkości jest, ze tak powiem odpowiednio duże.
Zwróć uwagę, że dwie niepewności pomiarowe jakie sumujemy mogą się sumować, ale tez mogą się niwelować. Więc sumaryczna niepewność (przy takim samym prawdopodobieństwie) nie jest sumą niepewności lecz czymś innym. I stąd właśnie taki wzór z pochodnymi i kwadratami.

[MissFilet]

W moim przypadku przyjmujemy zawsze najgorszy scenariusz, że błędy się nakładają, a nie niwelują, nawet jeśli prawdopodobieństwo jest stosunkowo niewielkie. Zgadza się tak uczą na "Zachodzie". W ogólniaku mi mówili, że mam tak robić, bo to była matura międzynarodowa. Tutaj mi tak mówią, bo jestem w Szkocji. Pamiętam, że na studiach w Polsce, rzeczywiście robiliśmy chyba inaczej. W każdym razie jestem ciekaw czy znajdę, kogoś tutaj kto mi pomoże. Mogę oczywiście zastosować Twoją metodę, ale wątpię, czy ci, co będą sprawdzać będą wiedzieć, o co chodzi. ;P