Rozkład normalny

[Asiaa0405]

Proszę o sprawdzenie i w razie błędów wyjaśnienie poniższego zadania.

Wydajność pracy pewnego urządzenia (w sztukach na godzinę) ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną \(\displaystyle{ 100}\) i wariancją \(\displaystyle{ 4}\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a)dwa takie urządzenia wyprodukują łącznie w ciągu godziny od \(\displaystyle{ 196}\) do \(\displaystyle{ 205}\) sztuk?
b)urządzenie pierwsze wyprodukuje w ciągu godziny ponad \(\displaystyle{ 5}\) sztuk więcej niż urządzenie drugie?

Zrobiłam to tak:
a)
\(\displaystyle{ P(196 < x_{1} + x_{2} < 205) \\ x_{1}+x_{2} - N (200, \sqrt{8})}\)

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}}\) zastąpiłam sobie dla ułatwienia zmienną \(\displaystyle{ T}\):
\(\displaystyle{ P(T>196)+P(T<205) = P( T> \frac{196-200}{2.83} )+ P( T < \frac{205-200}{2.83} )= \\ =P(T>1.41) + P(T<1.77) = 0.0407}\)

b)
\(\displaystyle{ P( x_{1}>x_{2} + 5) = P( x_{1}+x_{2} > 5) \\ x_{1}+x_{2} - N ( 0, \sqrt{8} ) \\ P(T>5) = P ( T > \frac{5-0}{2.83} ) = P(T>1.77) = 0.0401}\)

Z góry dziękuje za pomoc

[robertm19]

\(\displaystyle{ x_1+x_2}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(200,8)}\) ty masz tu pierwiastek, ale mimo to dobrze później dzielisz przez \(\displaystyle{ \sqrt{8}}\). \(\displaystyle{ P(196<x_1+x_2<205)= P(x_1+x_2<205)-P(x_1+x_2<196)}\) tak ma być.
W drugim \(\displaystyle{ P(x_1>x_2+5)=P(x_1-x_2>5)}\) tu masz plus zamiast minus. Mimo to rozkład wyznaczyłas jak dla różnicy.

[Asiaa0405]

Dlaczego w pierwszym \(\displaystyle{ P(196 <x_{1} + x_{2} <205) = P (x_{1} + x_{2} < 205 - P (x_{1} + x_{2} < 196)}\) ?
Nie powinno być ? \(\displaystyle{ P(196 < x_{1} + x_{2} < 205)= P (x_{1} + x_{2} < 205)- P (x_{1} + x_{2}>196)}\) ?
Jeśli tak, to prawdopodobieństwo mimo wszystko wyjdzie takie jak policzyłam, zgadza się?

Co do drugiego-faktycznie, literówka.
I jeszcze mam pytanie skąd w rozkładzie wzięła się sama 8? \(\displaystyle{ (N(200,8))}\)
Jeśli idę dobrym tokiem myślenia i po prostu wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe mnożę przez 2, to nie powinno być \(\displaystyle{ (N(200,4))}\) ? Bo w zadaniu mamy podaną wariancję, a w rozkładzie jest odchylenie..

[robertm19]

Pierwsze pytanie: nie jest tak jak uważasz. Inaczej liczysz prwad. \(\displaystyle{ P((-\infty,205))-P((-\infty,196))}\) Poczytaj o dystrybuancie i jak za pomocą dystrybuanty zapisuje się \(\displaystyle{ P((a,b))}\).

Drugie pytanie: na wikipedi znajdziesz rozkład sumy dwóch zmiennych niezależnych o rozkładzie normalnym.