Metoda naj. wiarygodności, test chi kwadrat.

[piwuch]

Dysponujemy n-­elementowa próbą losową prostą pochodzącą z rozkładu \(\displaystyle{ P(K=k) \frac{1}{k!} exp(\alpha k - e^{\alpha} )}\)   gdzie \(\displaystyle{ k = 0, 1 ,2 ,3 ...}\) .
(a) Korzystając z metody największej wiarygodności znajdź etymatory prawd. \(\displaystyle{ \alpha}\) tego
rozkładu oraz jego niepewność.
(b) W pewnej realizacji tego doświadczenia otrzymano następujące wyniki:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
k & 0-­10 & 11-­14 &15-­18& 19-­22& 23-­26& 27-­30& 31­-34& 35≥ \\ \hline
przypadków & 0& 8& 29 &33& 22& 6& 2& 0 \\ \hline
\end{tabular}}\)
Sprawdź na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha = 0,05}\) czy są one zgodne z przewidywanym modelem teoretycznym.
(c ) Oblicz wartość oczekiwaną oraz wariancję zmiennej losowej   z powyższego rozkładu.

Estymator \(\displaystyle{ \alpha}\) wyszedł mi \(\displaystyle{ \ln k _{średnie}}\). Czy dobrze?
Wariancję estymatora policzę licząc kolejną pochodną itd. Nie jest to na razie dla mnie priorytetem.
W drugim podpunkcie chcę zastosować test chi kwadrat Pearsona. Do tego potrzebuję policzyć ile wynosi wartość teoretyczna dla każdego przedziału. I teraz najważniejsze pytanie: czy muszę np. dla pierwszego przedziału liczyć \(\displaystyle{ n(p_{0} + p_{1} +...+p_{10})}\). Idąc tą drogą do jutra tego nie skończę. Ponadto jak przyjdzie mi policzyć silnię z 30 to bez komputera jest to niemal niemożliwe.

[mm34639]

Co do a) (oraz c) ) zauważamy, że to jest rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=e^{\alpha}}\), bo \(\displaystyle{ \frac{1}{k!} \exp(\alpha k - e^{\alpha} )=\frac{ (e^{\alpha})^k}{k!}e^{-(e^{\alpha})}}\). EMNW parametru \(\displaystyle{ \lambda}\) to po prostu \(\displaystyle{ \overline{X}}\), bez logarytmu.

\(\displaystyle{ L=\frac{\lambda^{\sum x_i}}{\prod x_i}e^{-n\lambda}}\), możemy maksymalizować \(\displaystyle{ \ln L}\), więc \(\displaystyle{ \ln L=-n\lambda+\ln (\lambda) \sum x_i - \sum (\ln (x_i!))}\)
Różniczkujemy po \(\displaystyle{ \lambda}\), i mamy \(\displaystyle{ \frac{\partial L}{\partial \lambda}=\frac{\sum x_i}{\lambda}-n}\), czyli \(\displaystyle{ \lambda=\frac{\sum x_i}{n}}\)

Edit: pomyłka, masz dobrze, bo wg polecenia estymujemy \(\displaystyle{ \alpha}\) a nie \(\displaystyle{ e^{\alpha}}\)