estymator największej wiarygodności

[BlueSky]

Liczbę zgłoszeń w jednostce czasu do systemu można modelować przy pomocy rozkładu Poissona o gęstości \(\displaystyle{ p(k)= \frac{\mu^ke^{-\mu}}{k!} , \ k=0,1,2,...}\). Niech \(\displaystyle{ k_1,k_2,...,k_n}\)będą niezależnymi obserwacjami liczby zgłoszeń do systemu w jednostce czasu, a więc realizacją \(\displaystyle{ n}\)-elementowej próby losowej z rozkładu Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \mu}\). Na podstawie próby chcemy, metodą największej wiarygodności, estymować wartość nieznanego parametru \(\displaystyle{ \mu}\).

a) Podaj postać funkcji wiarygodności.

b) Wyznacz estymator największej wiarygodności parametru \(\displaystyle{ \mu}\).

c) Podaj postać estymatora największej wiarygodności prawdopodobieństwa zera w rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \mu}\).

[janusz47]

a)\(\displaystyle{ L(\mu) = e^{-\mu}\frac{\mu^{k_{1}}}{k_{1}!}\cdot ...\cdot e^{-\mu}\frac{\mu^{k_{n}}}{k_{n}!} = e^{-n\mu}\frac{\mu^{k_{1}+...+k_{n}}}{k_{1}!...k_{n}!}.}\)

b) Zlogarytmuj i zróżniczkuj funkcję wiarygodności L względem \(\displaystyle{ \mu}\), oblicz wartość \(\displaystyle{ \overline{\mu}}\) estymatora - sprawdź, czy rzeczywiście w tym punkcie występuje ekstremum lokalne.

c) Podstaw \(\displaystyle{ k=0}\)

[MakCis]

Czy to będzie po prostu \(\displaystyle{ \mu = 0}\) ?