Zmienna skokowa

[Boukhiar]

Na wstępie chciałbym się serdecznie przywitać ze wszystkimi forumowiczami, gdyż to mój pierwszy post tutaj

Piszę w sprawie trudności z zadaniem:
"Zastawa w restauracjach okazuje się mieć krótki żywot. Student, odbywający praktykę ustalił, że z każdym użyciem filiżanki wiąże się stałe prawdopodobieństwo p=0,09 jej uszkodzenia (uszkodzona filiżanka zostaje wyrzucona). Zakładamy, że poszczególne przypadki użycia filiżanek są od siebie niezależne. Niech X oznacza liczbę przypadków użycia nowej filiżanki. Wyznacz jej wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe."

Czy w owym zadaniu jest za mało danych do rozwiązania tego zadania, czy jest jakiś sposób na rozwiązanie go? Dodam, że na kolokwium zdarzyło się zadanie z za małą ilością danych, gdzie trzeba było napisać, iż "W związku z za małą ilością danych, tego zadania nie da się rozwiązać."

Z góry dziękuję za wszelką pomoc

[thom]

Danych w zupełności wystarcza. Niech \(\displaystyle{ (X_1,X_2,\ldots)}\) będzie ciągiem niezależnych realizacji (kolejne użycia filiżanki) zmiennej przyjmującej wartość \(\displaystyle{ 1}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\) oraz wartość \(\displaystyle{ 0}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1-p}\). Szukamy wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ \mathbb{E}\tau}\) momentu stopu zdefiniowanego jako \(\displaystyle{ \tau=\min\{n\in\mathbb{N}\colon X_n=1\}}\) (może być \(\displaystyle{ \tau=+\infty}\)).

Ukryta treść:    

Dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}_0}\) mamy \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\tau>n)=\mathbb{P}(X_1=\ldots=X_n=0)=(1-p)^n}\).

Ukryta treść:    

Zatem \(\displaystyle{ \mathbb{E}\tau=\sum_{n=0}^\infty\mathbb{P}(\tau>n)=\frac{1}{p}}\). Korzystamy tu ze wzoru \(\displaystyle{ \mathbb{E}\xi=\int_0^\infty\mathbb{P}(\xi>t)\, dt}\), prawdziwego dla dowolnej zmiennej losowej \(\displaystyle{ \xi\geq 0}\).

[Boukhiar]

Powiem szczerze mówiąc, że zdębiałem widząc to rozwiązanie. Nigdy na zmiennej skokowej nie używaliśmy całek, tylko na zmiennej ciągłej.

Czy można troszeczkę jaśniej? Najlepiej łopatologicznie

[thom]

Nie trzeba całek pod warunkiem, że znany Ci jest wzór \(\displaystyle{ \mathbb{E}\tau=\sum_{n=0}^\infty\mathbb{P}(\tau>n)}\). Można go pominąć (przynajmniej pozornie), pisząc:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}\tau=\sum_{n=1}^\infty n\cdot\mathbb{P}(X_1=\ldots=X_{n-1}=0, X_n=1)=\sum_{n=0}^\infty np(1-p)^{n-1},}\)

a taką sumę daje się wyliczyć różniczkując funkcję \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}}\) w punkcie \(\displaystyle{ 1-p}\).

[Boukhiar]

Bardzo dziękuję