oszacowanie największej wiarygodności prawdopodobieństwa

[BlueSky]

Wybrano losowo \(\displaystyle{ 100}\) osób. Okazało się, że wśród nich jest \(\displaystyle{ 40}\) kobiet i \(\displaystyle{ 60}\) mężczyzn. \(\displaystyle{ 30}\) kobiet i \(\displaystyle{ 40}\) mężczyzn zadeklarowało, że lubi tańczyć. Znajdź oszacowanie największej wiarygodności prawdopodobieństwa, że losowo wybrana osoba lubi tańczyć. Czy oszacowanie to się zmieni, gdyby stosunek do tańca był niezależny od płci?

[kolegasafeta]

Zakładamy, że zmienna "lubię tańczyć" ma rozkład zero-jedynkowy z prawdopodobieństwami odpowiednio \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) dla kobiet i mężczyzn. Nie mamy za bardzo wyboru, bo to jedyny możliwy rozkład na przestrzeni dwupunktowej. Jeżeli tylko założymy niezależność tych dwóch grup od siebie.

Wiarygodność:
oznaczmy \(\displaystyle{ \theta=(p,q), \theta \in [0,1]^2}\) -przestrzeń parametrów
\(\displaystyle{ L(X,\theta)={40 \choose 30} p^{30}(1-p)^{10}\cdot {60 \choose 40} q^{40}(1-q)^{20} \ \alpha \newline \alpha \ [p^3(1-p)]^{10} [q^2(1-q)]^{20},}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) oznacza proporcjonalność (pomijamy stałe niezależne od \(\displaystyle{ \theta}\)).

Wystarczy zmaksymalizować wyrażenia w nawiasach, co jest łatwe, bo są to wielomiany małych stopni. Otrzymujemy
\(\displaystyle{ p=3/4, q=2/3}\)
Zakładając (fałszywie), że p-stwo wylosowania kobiety jest takie samo jak p-stwo wylosowania mężczyzny otrzymujemy szansę
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{17}{24}}\)
Jeżeli nie będziemy rozróżniali płci, musimy zsumować "sukcesy", dostaniemy \(\displaystyle{ 70}\). Wiarygodność będzie postaci
\(\displaystyle{ L(x,r) \ \alpha \ [r^7(1-r)^3]^{10}}\),
już widać, że wyjdzie co innego.