estymator największej wiarygodności pików
estymator największej wiarygodności pików
Z talii \(\displaystyle{ 52}\) kart wyjęto \(\displaystyle{ p}\) pików \(\displaystyle{ (p=0,1,...,13)}\). W celu oszacowania liczby \(\displaystyle{ p}\), czterokrotnie, ze zwracaniem, wylosowano kartę z talii i policzono liczbę \(\displaystyle{ k}\) wylosowanych w ten sposób pików. Znajdź estymator największej wiarygodności liczby wyjętych pików \(\displaystyle{ p}\). Czy jest to estymator nieobciążony?
-
kolegasafeta
- Użytkownik
- Posty: 209
- Rejestracja: 26 lis 2009, o 23:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 8 razy
estymator największej wiarygodności pików
Idea estymatora największej wiarygodności jest taka, żeby dobrać dane ( w tym wypadku k) takie, żeby jego prawdopodobieństwo było możliwie największe.
Musimy więc zmaksymalizować \(\displaystyle{ \left( \frac{13}{52} \right) ^k \left( \frac{52-13}{52} \right) ^{4-k}}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) może przyjmować wartości \(\displaystyle{ 0,1,2,3,4}\).
Estymator będzie obciążony. Wynika to z tego, że losujemy ze zwracaniem. Tzn. z uproszczonej i przez to wadliwej konstrukcji doświadczenia. Spróbuję to uzasadnić zaraz.
-- 26 sie 2013, o 17:36 --
Widać, że wyrażenie \(\displaystyle{ L \left( k \right) = \left( \frac{13}{52} \right) ^k \left( \frac{52-13}{52} \right) ^{4-k}= \left( \frac{1}{4} \right) ^k\cdot \left( \frac{3}{4} \right) ^{4-k}}\) ma maksimum w \(\displaystyle{ k=0}\), czyli nasz estymator jest zero. Czyli w szczególności ma wartość oczekiwaną równą zero.
No ale estymator nieobciążony ma mieć wartość oczekiwaną taką jak wielkość którą przybliża. A ta przybliżana wielkość to ilość wylosowanych pików. Z niezerowym prawdopodobieństwem możemy wylosować dodatnie wartości pików. Więc już widać, że prawdziwa wartość oczekiwana jest niezerowa, to wynika wprost z definicji.
Przypomnieć definicję wartości oczekiwanej i to jakoś uzasadnić?
PZDR
Musimy więc zmaksymalizować \(\displaystyle{ \left( \frac{13}{52} \right) ^k \left( \frac{52-13}{52} \right) ^{4-k}}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) może przyjmować wartości \(\displaystyle{ 0,1,2,3,4}\).
Estymator będzie obciążony. Wynika to z tego, że losujemy ze zwracaniem. Tzn. z uproszczonej i przez to wadliwej konstrukcji doświadczenia. Spróbuję to uzasadnić zaraz.
-- 26 sie 2013, o 17:36 --
Widać, że wyrażenie \(\displaystyle{ L \left( k \right) = \left( \frac{13}{52} \right) ^k \left( \frac{52-13}{52} \right) ^{4-k}= \left( \frac{1}{4} \right) ^k\cdot \left( \frac{3}{4} \right) ^{4-k}}\) ma maksimum w \(\displaystyle{ k=0}\), czyli nasz estymator jest zero. Czyli w szczególności ma wartość oczekiwaną równą zero.
No ale estymator nieobciążony ma mieć wartość oczekiwaną taką jak wielkość którą przybliża. A ta przybliżana wielkość to ilość wylosowanych pików. Z niezerowym prawdopodobieństwem możemy wylosować dodatnie wartości pików. Więc już widać, że prawdziwa wartość oczekiwana jest niezerowa, to wynika wprost z definicji.
Przypomnieć definicję wartości oczekiwanej i to jakoś uzasadnić?
PZDR
Ostatnio zmieniony 26 sie 2013, o 20:31 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.
Powód: Skalowanie nawiasów.
estymator największej wiarygodności pików
Trzeba przy danym \(\displaystyle{ k}\) znaleźć takie \(\displaystyle{ p\in\{0,1,\ldots,13\}}\), dla którego wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ \binom4k\cdot\left(\frac{13-p}{52-p}\right)^k\cdot\left(\frac{39}{52-p}\right)^{4-k}}\)
jest największa. Oczywiście współczynnik dwumianowy można pominąć, bo jest dodatni i nie zależy od \(\displaystyle{ p}\). Podobnie czynnik \(\displaystyle{ 39^{4-k}}\).
\(\displaystyle{ \binom4k\cdot\left(\frac{13-p}{52-p}\right)^k\cdot\left(\frac{39}{52-p}\right)^{4-k}}\)
jest największa. Oczywiście współczynnik dwumianowy można pominąć, bo jest dodatni i nie zależy od \(\displaystyle{ p}\). Podobnie czynnik \(\displaystyle{ 39^{4-k}}\).
-
kolegasafeta
- Użytkownik
- Posty: 209
- Rejestracja: 26 lis 2009, o 23:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 8 razy
estymator największej wiarygodności pików
Racja, zacząłem pisać tam wyżej jakieś głupoty bo źle przeczytałem, przepraszam I też jestem ciekawy jak jest z obciążeniem tego estymatora.
estymator największej wiarygodności pików
Wyszło mi, że \(\displaystyle{ \hat{p}(k)=\begin{cases}13&\text{dla }k=0\\0&\text{dla }k\ne0.\end{cases}}\)
W takim razie \(\displaystyle{ \mathbb{E}\hat{p}=13\left(\frac{39}{52-p}\right)^4}\). Trzeba więc sprawdzić, czy \(\displaystyle{ 13\left(\frac{39}{52-p}\right)^4=p}\). Na przykład dla \(\displaystyle{ p=0}\) równość nie zachodzi, więc estymator jest obciążony.
W takim razie \(\displaystyle{ \mathbb{E}\hat{p}=13\left(\frac{39}{52-p}\right)^4}\). Trzeba więc sprawdzić, czy \(\displaystyle{ 13\left(\frac{39}{52-p}\right)^4=p}\). Na przykład dla \(\displaystyle{ p=0}\) równość nie zachodzi, więc estymator jest obciążony.