Statystyka dostateczna

[superes]

Mam prośbę o wyjaśnienie mam próbę o gęstości.
\(\displaystyle{ f _{\theta}(x)= \frac{1}{\theta x ^{ \frac{\theta + 1}{\theta} } }3 ^{ \frac{1}{\theta} }}\) dla \(\displaystyle{ 3<x< \infty}\)
Mam wyznaczony rozkład łączny dla x1,x2,...,xn
\(\displaystyle{ = \frac{ 3^{ \frac{n}{\theta} } }{ \theta^{n} } \frac{1}{(\prod_{i=1}^{n}X _{i})^{ \frac{\theta+1}{\theta}} }I _{(3, \infty) }X _{1:n}}\)
z kryterium faktoryzacji
\(\displaystyle{ T(x)= \prod_{i=1}^{n}X _{i}}\) jest statystyką dostateczną

Nie rozumiem tego dlaczego w rozkładzie łącznym znalazła się statystyka pozycyjna min \(\displaystyle{ X _{1:n}}\)?

[kolegasafeta]

To jest tak naprawdę tylko forma zapisu, chodzi o to, że jeżeli minimum z \(\displaystyle{ X_i}\) jest większe od trójki, to i wszystkie \(\displaystyle{ X_i, i=1,...n}\) są większe. A jak wiadomo muszą one siedzieć w nośniku żeby gęstość łączna była niezerowa. Można byłoby topornie pisać \(\displaystyle{ X_1>3 \wedge X_2>3 \wedge ...}\)
Gdyby ta gęstość miała nośnik ograniczony z góry, to używalibyśmy też \(\displaystyle{ X_{n:n}}\).