Problemy rachunkowe z CTG

[kieubass]

Witam
Mam mały problem rachunkowy stosując Centralne Twierdzenie Graniczne, jestem tym trochę zdziwiony, bo zawsze nie sprawiało mi to żadnych trudności, a jednak

Po wyliczeniu, że \(\displaystyle{ \mu = \frac{3}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \sigma= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) mam policzyć:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} P\left( \frac{1}{ \sqrt{n} } \sum_{i=1}^{n} X _{i} - \frac{3}{2} \sqrt{n} > \sqrt{3} \right)}\)

Rozwiązuję to tak:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} P\left( \frac{1}{ \sqrt{n} } \sum_{i=1}^{n} X _{i} - \frac{3}{2} \sqrt{n} > \sqrt{3} \right) = 1 - \lim_{n\to\infty} P\left( \frac{1}{ \sqrt{n} } \sum_{i=1}^{n} X _{i} - \frac{3}{2} \sqrt{n} \le \sqrt{3} \right)}\)
Wyłączam teraz przed szereg:
\(\displaystyle{ 1 - \lim_{n\to\infty} P\left( \frac{1}{ \sqrt{n} } \left( - \frac{3}{2} \sqrt{n} + \sum_{i=1}^{n} X _{i}\right) \le \sqrt{3} \right) = 1 - \lim_{n\to\infty} P\left( - \frac{3}{2} + \frac{1}{ \sqrt{n} } \sum_{i=1}^{n} X _{i} \le \sqrt{3} \right) = 1 - \lim_{n\to\infty} P\left( \frac{1}{ \sqrt{n} } \sum_{i=1}^{n} X _{i} \le \sqrt{3} + \frac{3}{2} \right) = 1 - \lim_{n\to\infty} P\left( \frac{1}{ \sqrt{n} } S _{n} \le \sqrt{3} + \frac{3}{2} \right) = 1 - \lim_{n\to\infty} P\left( \frac{S _{n}}{ \sqrt{n} } \le \frac{2\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} \right) = 1 - \lim_{n\to\infty} P\left( \frac{S _{n}}{ \sqrt{n} } \le \frac{2\sqrt{3} +3}{2}\right)}\)

I teraz wiem, że muszę po lewej stronie odjąć \(\displaystyle{ n\mu}\), ale wiem, że nie mogę tego zrobić ot tak sobie - odejmę stronami \(\displaystyle{ \frac{n\mu}{ \sqrt{n} }}\)

\(\displaystyle{ 1 - \lim_{n\to\infty} P\left( \frac{S _{n}}{ \sqrt{n} } - \frac{n\mu}{ \sqrt{n} } \le \frac{2\sqrt{3} +3}{2} - \frac{n\mu}{ \sqrt{n} }\right) = 1 - \lim_{n\to\infty} P\left( \frac{S _{n} - n\mu}{ \sqrt{n} } \le \frac{2\sqrt{3n} +3 \sqrt{n} -2n\mu }{2 \sqrt{n} } \right)}\)

Jeszcze tylko pomnożę stronami przez \(\displaystyle{ \frac{1}{\sigma}}\) i będę miał zmienną o jakiej mowa w CeTeGu

\(\displaystyle{ 1 - \lim_{n\to\infty} P\left( \frac{S _{n} - n\mu}{ \sqrt{n}\sigma } \le \frac{2\sqrt{3n} +3 \sqrt{n} -2n\mu }{2 \sqrt{n} \sigma } \right) = 1 - \lim_{n\to\infty} P\left( Y \le \frac{2\sqrt{3n} +3 \sqrt{n} -2n\mu }{2 \sqrt{n} \sigma } \right)}\)

Po podstawieniu \(\displaystyle{ \mi = \frac{3}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \sigma= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\), mam:

\(\displaystyle{ 1 - \lim_{n\to\infty} P\left( Y \le \frac{2\sqrt{3n} +3 \sqrt{n} -3n }{\sqrt{3n} } \right)}\)

I teraz mam cholerny problem z tą granicą... Jak sobie rozbiję to mam:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left( \frac{2\sqrt{3n} +3 \sqrt{n} -3n }{\sqrt{3n} } \right) = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{2\sqrt{3n} }{\sqrt{3n} } + \frac{3 \sqrt{n} }{\sqrt{3n} } - \frac{3n }{\sqrt{3n} } \right) = \lim_{n\to\infty} \left( 2 + \frac{3 }{\sqrt{3} } - \frac{3n }{\sqrt{3n} } \right) = 2 + \frac{3 }{\sqrt{3} } - \lim_{n\to\infty} \left( \frac{3n }{\sqrt{3n} } \right)}\)

I kurcze lipa, bo z racji tego, że licznik rośnie szybciej niż mianownik, ta granica wynosi \(\displaystyle{ +\infty}\) czyli całe wyrażenie będzie się równało \(\displaystyle{ -\infty}\) a przecież
\(\displaystyle{ P\left( Y \le -\infty \right) = 0}\)

Co robię źle i gdzie jest błąd... Bo wątpię by wynik wyszedł tak banalny...
Z góry dziękuję

[robertm19]

Czy w tym momencie \(\displaystyle{ 1 - \lim_{n\to\infty} P\left( \frac{1}{ \sqrt{n} } \left( - \frac{3}{2} \sqrt{n} + \sum_{i=1}^{n} X _{i}\right) \le \sqrt{3} \right)}\) przy wyciąganiu pierwiastka nie jest przypadkiem błąd?

[kieubass]

Czy w tym momencie \(\displaystyle{ 1 - \lim_{n\to\infty} P\left( \frac{1}{ \sqrt{n} } \left( - \frac{3}{2} \sqrt{n} + \sum_{i=1}^{n} X _{i}\right) \le \sqrt{3} \right)}\) przy wyciąganiu pierwiastka nie jest przypadkiem błąd?

Że tak?
\(\displaystyle{ 1 - \lim_{n\to\infty} P\left( \frac{1}{ \sqrt{n} } \left( - \frac{3}{2} \sqrt{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} X _{i}\right) \le \sqrt{3} \right)}\)

Dobra to poprawiłem, liczyłem dalej nawet bez przechodzenia na zdarzenie przeciwne, w nadziei, że pójdzie już gładko, a tu taka postać...

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} P\left( \frac{1}{ \sqrt{n} } \sum_{i=1}^{n} X _{i} - \frac{3}{2} \sqrt{n} > \sqrt{3} \right) = \lim_{n\to\infty} P\left( \frac{1}{ \sqrt{n} } \sum_{i=1}^{n} X _{i} - \frac{3}{2} \sqrt{n} > \sqrt{3} \right)}\)
Wyłączam teraz przed szereg:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} P\left( \frac{1}{ \sqrt{n} } \left( - \frac{3}{2} \sqrt{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} X _{i}\right) > \sqrt{3} \right) = \lim_{n\to\infty} P\left( - \frac{3}{2} \sum_{i=1}^{n} X _{i} > \sqrt{3} \right) = \lim_{n\to\infty} P\left( \sum_{i=1}^{n} X _{i} < - \frac{2 \sqrt{3} }{3} \right) = \lim_{n\to\infty} P\left( S _{n} < - \frac{2 \sqrt{3} }{3} \right) = \lim_{n\to\infty} P\left( S _{n} -n\mu < - \frac{2 \sqrt{3} }{3} -n\mu \right) = \lim_{n\to\infty} P\left( S _{n} -n\mu < - \frac{2 \sqrt{3} -3n\mu }{3} \right) = \lim_{n\to\infty} P\left( \frac{S _{n} -n\mu}{ \sqrt{n} \sigma} < - \frac{2 \sqrt{3} -3n\mu }{3\sqrt{n} \sigma} \right)}\)

Mam już zmienną o którą chodziło i będę podstawiał

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} P\left( Y < - \frac{2 \sqrt{3} -3n\mu }{3\sqrt{n} \sigma} \right) = \lim_{n\to\infty} P\left( Y < - \frac{2 \sqrt{3} -3 \cdot \frac{3}{2} n }{3\sqrt{n} \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} } \right) = \lim_{n\to\infty} P\left( Y < - \frac{2 \sqrt{3} - \frac{9}{2} n }{ \frac{ 3\sqrt{3n} }{2} } \right) = \lim_{n\to\infty} P\left( Y < - \frac{4 \sqrt{3} - 9n }{ 3\sqrt{3n} } \right)}\)

A granica takiego wyrażenia to przecież znowu \(\displaystyle{ -\infty}\) czyli prawdopodobieństwo znowu zerowe... :/

POMOCY!!!

[robertm19]

Sprowadź to \(\displaystyle{ P\left( \frac{1}{ \sqrt{n} } \sum_{i=1}^{n} X _{i} - \frac{3}{2} \sqrt{n} > \sqrt{3} \right)}\) do postaci \(\displaystyle{ P(\sum X_{i}>...)}\) a potem dopiero zastosuj wzór \(\displaystyle{ \sqrt{n}\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}}\).

[kieubass]

Ja w CTG miałem mówione o zmiennej \(\displaystyle{ Y}\) zdefiniowanej w ten sposób:
\(\displaystyle{ Y:= \frac{S _{n} -n\mu}{ \sqrt{n} \sigma}}\) gdzie \(\displaystyle{ S _{n} = \sum_{i=1}^{n}X _{i}}\)

Czy nie tak właśnie zrobiłem? Sczyściłem wszystko, co stało przy szeregu, potem bezproblemowo zamieniłem ten szereg na \(\displaystyle{ S _{n}}\), bo przecież mogę i dopiero wtedy rozpocząłem przekształcanie do zmiennej \(\displaystyle{ Y}\). Nie rozumiem więc o co chodzi... W którym miejscu błąd, lub robię coś niepotrzebnie? Celowo zamieściłem wszystkie przejścia by łatwiej wyłapać błąd
Dobrze, że nie przeszedłem na zdarzenie przeciwne, czy nie?

Pokaż mi w którym konkretnie miejscu mam błąd

[robertm19]

Za późno jest już żebym czytał wszystkie kroki nie poprawiłeś tego błędu o którym wcześniej mówiłem. Źle tam wyciągasz \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) przed nawias.

[kieubass]

To jak powinienem to wyciągnąć? Proszę powiedz i oboje będziemy mogli iść już spać Ty od razu, a ja jak po dobrym wyciągnięciu przed szereg policzę to wszystko jeszcze raz Zlituj się Bo oboje dobrze wiemy, że jak dobrze wyciągnę to już dalej zrobię dobrze

I dlaczego ja to źle wyciągnąłem? przecież gdyby \(\displaystyle{ n}\) się zmieniało to nie mógłbym go ruszyć, ale \(\displaystyle{ n}\) mimo że w zadaniu nie mam go danego, to jest ustalone, stałe... Więc tylko to mi przychodzi do głowy, że wyłączam przed szereg całe wyrażenie \(\displaystyle{ - \frac{3}{2} \sqrt{n}}\)

Czy mam je jeszcze przez coś przemnażać, potęgować do n-tej potęgi? No naprawdę nie wiem...

[robertm19]

Witam

Wyłączam teraz przed szereg:
\(\displaystyle{ 1 - \lim_{n\to\infty} P\left( \frac{1}{ \sqrt{n} } \left( - \frac{3}{2} \sqrt{n} + \sum_{i=1}^{n} X _{i}\right) \le \sqrt{3} \right) = 1 - \lim_{n\to\infty} P\left( - \frac{3}{2} + \frac{1}{ \sqrt{n} } \sum_{i=1}^{n} X _{i} \le \sqrt{3} \right)}\)

Tutaj stało się coś dziwnego, bo\(\displaystyle{ P\left( \frac{1}{ \sqrt{n} } \sum_{i=1}^{n} X _{i} - \frac{3}{2} \sqrt{n} \le \sqrt{3} \right)=P\left( \frac{1}{ \sqrt{n} } (\sum_{i=1}^{n} X _{i} - \frac{3}{2} n) \le \sqrt{3} \right)}\) tak to powinno wyglądać.

[kieubass]

ale dlaczego tak? W ogóle, to na samym początku, mimo że nie ma tam nawiasu, przyjąłem że \(\displaystyle{ - \frac{3}{2} \sqrt{n}}\) jest związane szeregiem i do niego należy... Nie rozumiem kompletnie Twojego kroku... Dlaczego tak?