Estymator największej wiarygodności

[_Mithrandir]

Niech \(\displaystyle{ X_1, X_2, \dots, X_{100}}\) będzie próbą losową z rozkładu wykładniczego o nieznanej wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ \mu}\). Estymujemy \(\displaystyle{ \mu}\) na podstawie częściowej informacji o próbce, a mianowicie tego, że:
* 80 zmiennych (spośród wszystkich 100 z próbki) przybralo wartości poniżej 3,
* średnia arytmetyczna z tych 80-ciu wynosi 2.
Oparty na tej informacji estymator Największej Wiarygodności parametru \(\displaystyle{ \mu}\) przybiera wartość ... .

Jest to zadanie z jednego ze starych egzaminów aktuarialnych, odpowiedź to \(\displaystyle{ \frac{11}{4}}\).

No i tak:

\(\displaystyle{ L(\mu, x_1, \dots, x_{100}) = f_{\mu} (x_1) \cdot \dots \cdot f_{\mu} (x_{100})=\prod\limits_{i=1}^{80}\frac{1}{\mu} e^{-\frac{x_i}{\mu}} \prod\limits_{i=81}^{100}\frac{1}{\mu} e^{-\frac{x_i}{\mu}}}\)

Pierwszy iloczyn (od 1 do 80) wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{\mu^{80}}e^{-\frac{160}{\mu}}}\) (bo średnia arytmetyczna wynosi 2). A co z drugim iloczynem? Widziałem jakieś rozwiązanie tego zadania i wynika z niego, że \(\displaystyle{ \prod\limits_{i=81}^{100} \frac{1}{\mu}e^{-\frac{x_i}{\mu}} = \left(e^{-\frac{3}{\mu}}\right)^{20}}\), bo napisane jest w ten sposób:

\(\displaystyle{ L=\prod\limits_{i=1}^{80}\frac{1}{\mu}e^{-\frac{x_i}{\mu}}\left(e^{-\frac{3}{\mu}}\right)^{20}=\frac{1}{\mu^{80}}e^{-\frac{220}{\mu}}}\)

Po zlogarytmowaniu i wyznaczeniu punktu krytycznego faktycznie wychodzi z tego \(\displaystyle{ \frac{11}{4}}\). Tylko dlaczego iloczyn pozostałych 20 gęstości wynosi akurat tyle? Skąt ta "3" w potędze?

[robertm19]

Zadanie według mnie jest źle sformułowane, bo mamy informację dotyczącą wartości zaobserwowanych dla 80 zmiennych, gdy do wyznaczenia konkretnej liczby jako estymatora trzeba znać wszystkie 100.
W zadaniach aktuarialny są często błędy.

Wybierasz się może na któryś z egzaminów aktuarialnych?

[_Mithrandir]

- tutaj znalazłem "pełniejsze" rozwiązanie zadania.

Planuję wybrać się na PiS i UnŻ, jak już będę się czuć w miarę dobrze przygotowany.

[robertm19]

Hehe na te wykłady chodziłem -- 27 lipca 2013, 17:24 --Zacznij od tych młodszych egzaminów. Teraz są trudniejsze.