Wartość oczekiwana i wariancja na podstawie dystrybuanty

[patryk007]

Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) o dystrybuancie
\(\displaystyle{ F(X)=\begin{cases}0& x<0\\x & 0\le x <0,3\\1& x\ge 0,3\end{cases}}\)

Myślałem żeby na podstawie tej dystrybuanty wyznaczyć f-cję gęstości \(\displaystyle{ f(x)}\), ale w tej dystrybuancie jest skok, który wszystko psuje. A może tu nie trzeba w ogóle wyznaczać f-cji gęstości?

[szw1710]

Wartość oczekiwaną możesz wyznaczyć całką Riemanna-Stjeltjesa: \(\displaystyle{ EX=\int_{-\infty}^{\infty} x\dd F(x)}\).

[robertm19]

Takie rozkłady mają gęstość np. u ciebie \(\displaystyle{ f=1}\) dla \(\displaystyle{ 0\le x\le 0,3}\) oraz atom \(\displaystyle{ P(X=0,3)=0,7}\).

[szw1710]

Ogólnie każda miara (rozkład) składa się z części dyskretnej, absolutnie ciągłej i osobliwej. Dla tego, co potocznie nazywamy rozkładem ciągłym, części dyskretna i osobliwa są zerowe. Tu część osobliwa jest zerowa, a część dyskretna jest niezerowa (skok)

[patryk007]

DOKŁADNIE o to mi chodziło szw1710. Mam otwarty podręcznik do Elementów rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej autorstwa Zdzisława Hellwinga (polecam) i na stronie \(\displaystyle{ 79}\) (w wydaniu \(\displaystyle{ 13}\)) jest twierdzenie z prostym dowodem, że

Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową ciągłą to \(\displaystyle{ P(X=x_0)=0}\)

Zasugerowałem się, że \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową ciągłą i nie może być takiego punktu niezerowego (tj. \(\displaystyle{ P(X=0,3)=0,7}\)). Widać zmienna losowa jest mieszana. Wielkie dzięki.

[szw1710]

Ale chyba założeń nie dopisałeś. Miało być "ciągłą". Czyli: Jeśli X jest zmienną losową ciągłą, to dla każdego \(\displaystyle{ x_0}\) mamy \(\displaystyle{ P(X=x_0)=0}\). Owszem, fakt ten jest dość oczywisty. Wynika stąd, że dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej jest ciągła, a \(\displaystyle{ P(X=x_0)=F(x_0^+)-F(x_0)}\). Z ciągłości obie ostatnie wielkości są równe.

[patryk007]

Jasne. Zgubiłem kluczowe słowo 'ciągłą'. +1 za uwagę. ;]

-- 30 czerwca 2013, 22:21 --

Pospieszyłem się. Dalej nie wiem jak to zrobić, bo nie wiem jak się liczy wartość oczekiwaną dla mieszanej zmiennej losowej (jaką w tym zadaniu jest \(\displaystyle{ X}\)).

Moje próby (nie wiem czy poprawne) policzenia tego:

Ukryta treść:    

Spróbowałem wyznaczyć gęstość mieszanej zmiennej losowej:
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}1& x\in [0;\ \frac{3}{10})\\0,7 & x=0,3\\0& \text{dla reszty}\end{cases}}\)
Teraz aby wyznaczyć wartość oczekiwaną liczymy: \(\displaystyle{ E(X)=1\cdot\int\limits^{+\infty}_{-\infty}x\cdot f(x) dx=\int\limits^{0,3}_{0}xdx=0,045}\). Ale zdaje się, że nie wziąłem pod uwagę tych 'pików' dyskretnych.