Dwuwymiarowy rozkład losowy

[patryk007]

\(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases}c &\text{dla }|x+y|\le 1\text{, }|x-y|\le 1\text{, }xy<0 \\
0 & \text{w przeciwnym przypadku}\end{cases}}\)

1. Wyznaczyć stałą \(\displaystyle{ c}\)
2. Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ T=X-Y}\)
3. Wyznaczyć gęstości brzegowe
4. Obliczyć współczynniki korelacji zmiennych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\)

---------

1. Stała \(\displaystyle{ c}\) wyszła mi równa \(\displaystyle{ 1}\)
2. Czy aby wyznaczyć gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ T=X-Y}\) należy wyznaczyć gęstość brzegową \(\displaystyle{ f_X (x)}\) i \(\displaystyle{ f_Y (y)}\) i odjąć je od siebie? Tzn. czy \(\displaystyle{ f_T (z)=f_X (z)-f_Y (z)}\)?
3. Gęstości brzegowe:
   • \(\displaystyle{ f_X (x)=\int\limits^{\infty}_{-\infty}f(x,y) dy=\int\limits^{x+1}_{0}dy + \int\limits^{0}_{x-1}dy=(x+1)+(-x+1)=2}\)
   • \(\displaystyle{ f_Y (y)=\int\limits^{\infty}_{-\infty}f(x,y) dx=\int\limits^{0}_{-1}dx + \int\limits^{1}_{0}dy=2}\)
     Stąd w ppkt. 2 wychodziłaby wartość \(\displaystyle{ f_T (z) = 0}\) (o ile w ppkt. 2 się nie mylę).
4. \(\displaystyle{ \rho _{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X\cdot\sigma_Y}}\), gdzie \(\displaystyle{ Cov(X,Y)}\) to kowariancja wyrażająca się wzorem \(\displaystyle{ Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)\cdot E(Y)}\), a \(\displaystyle{ \sigma_X}\) to odchylenie standardowe \(\displaystyle{ \sigma_X =\sqrt{E([X-E(X)]^2)}= \sqrt{E(X^2)-E^2 (X)}}\)

[Adifek]

1. Zgadza się.
2. W żadnym wypadku! Mamy coś takiego:

Dystrybuanta:
\(\displaystyle{ F_{X-Y}(t)=P(X-Y<t) = P(Y>X-t) = \iint_{ \left\{ y>x-t\right\} }f(x,y)dxdy}\)

Gęstość zaś to pochodna po \(\displaystyle{ t}\) dystrybuanty.

Dostajemy:

\(\displaystyle{ F_{X-Y}(t) = \begin{cases} 0, \qquad \qquad t\le -1 \\ \frac{1}2}\left( t^{2}-1\right), \quad -1<t\le 0 \\ \frac{1}2}\left( t^{2}+1\right), \quad 0<t\le 1 \\ 1, \qquad \qquad t>1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f_{X-Y}(t) = \frac{ \mbox{d} }{ \mbox{d}t }F_{X-Y}(t) = \begin{cases} t, \quad -1\le t\le 1\\ 0, \quad poza \ tym\end{cases}}\)

3. Gęstości brzegowe źle policzone.