Posiłkując się tym co wyczytałem tutaj - nie jestem pewny który test statystyczny wybrać - obstawiałbym ten \(\displaystyle{ T=\frac{\overline{X}-m}{s}}\) (\(\displaystyle{ s}\) - odchylenie standardowe z próby, tzn. \(\displaystyle{ s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}{n}}}\), gdzie \(\displaystyle{ \overline{x}}\) to średnia arytmetyczna z próby).
Myślę tak, bo mamy sprawdzić hipotezę, że wariancja \(\displaystyle{ V(X)=9}\). Dobrze myślę czy tu chodzi jednak o test Pearsona chi-kwadrat?
Test dla wariancji
Hipotezy: \(\displaystyle{ H_{0}:\sigma^{2}=\sigma_{0}=9,}\) \(\displaystyle{ H_{1}:\sigma^{2}\neq \sigma_{0}=9.}\)
Sprawdzianem hipotezy dla próby \(\displaystyle{ n<30}\) jest statystyka: \(\displaystyle{ \chi^2=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}_{0}}.}\)
Przy założeniu prawdziwości hipotezy \(\displaystyle{ H_{0}}\) statystyka ta ma rozkład \(\displaystyle{ \chi^{2}}\) o liczbie stopni swobody \(\displaystyle{ \nu=n-1.}\)
Wariancja z ośmioelementowej próby: \(\displaystyle{ \hat{s_{8}}=44.55 m^{2}}\)
Wartość statystyki testowej: \(\displaystyle{ \chi^{2}=\frac{7\cdot 44.55}{9}= 34.65 m^{2}}\)
Obszar krytyczny testu
Dla hipotezy alternatywnej \(\displaystyle{ H_{1}\neq \sigma_{0}}\) dwustronny obszar krytyczny określa się na podstawie równania: \(\displaystyle{ Pr\left\{\chi^{2}\leq \chi^{2}_{\alpha,(n-1)}\right\}=Pr\left \{\chi^{2}\geq \chi^{2}_{\alpha,(n-1)}\right \}=\alpha}\)
Wartość krytyczną \(\displaystyle{ \chi^{2}_{\alpha,(n-1)}}\) odczytujemy z tablicy rozkładu \(\displaystyle{ \chi^{2}}\) lub za pomocą programu komputerowego na przykład R dla prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ 1-\frac{\alpha}{2}}\) i \(\displaystyle{ n-1}\) stopni swobody.
Dla danych w zadaniu \(\displaystyle{ \chi^{2}_{1-\alpha/2, 7}= \chi^{2}(0.995,7)= 20.28}\)
Przedział ufności dla średniej odległości \(\displaystyle{ \langle \overline{X_{8}}-\frac{\sigma u_{\alpha}}{\sqrt{n}}, \overline{X_{8}}+\frac{\sigma u_{\alpha}}{\sqrt{n}}\rangle.}\)
gdzie:
wartość średnia odległości z próby \(\displaystyle{ \verline{x_{8}}=201.62 m}\):
> x<-c(201,195,207,203,191,208,198,210)
> mean(x)
[1] 201.625
odchylenie standardowe \(\displaystyle{ \sigma=\sqrt{9}=3}\)
Kwantyl rzędu \(\displaystyle{ \alpha=0.005}\) odczytujemy z tablicy dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego, lub programu R: \(\displaystyle{ u_{0.05}=2.81}\)
Program R
> qnorm(0.9975)
[1] 2.807034
Po podstawieniu danych liczbowych: \(\displaystyle{ \langle 201.62-\frac{3\cdot 2.81}{\sqrt{8}},201.62+\frac{3\cdot 2.81}{\sqrt{8}}\rangle m.=
\langle 201.62-2.98, 201.62+2.98\rangle m. =\langle 198.64, 204.60\rangle m.}\)
Przedział o końcach \(\displaystyle{ 198,64 m. 204.60 m.}\) należy do tych przedziałów ufności, który z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0.95}\) zawiera średni pomiar odległości dalmierzem, a nie tylko próby ośmioelementowej.
