Witam. Mógłby ktoś sprawdzić rozwiązanie do zadania i ewentualnie poproawić błędy?
Zadanie.
Załóżmy że zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) stanowią próbę prostą z rozkładu \(\displaystyle{ N(\mu,\sigma^2)}\). Jaki rozkład ma zmienna losowa \(\displaystyle{ \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X_n)^2}\)? Korzystając z tablic wyznaczyć wartość prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ P(\sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline X_{10})^2<32)}\) przyjąć \(\displaystyle{ \sigma^2=4}\)
Moje rozwiązanie:
Zmienna losowa \(\displaystyle{ \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X_n)^2}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \chi^2_{n-1}}\) o n-1 stopniach swobody.
\(\displaystyle{ P(\sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline X_{10})^2<32)=P( \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline X_{10})^2< \frac{1}{\sigma^2} 32)}\)
Oznaczmy: \(\displaystyle{ Y= \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline X_{10})^2}\) ma ona rozkład \(\displaystyle{ \chi^2_9}\)
Zatem podstawiając \(\displaystyle{ Y}\) oraz \(\displaystyle{ \sigma^2=4}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P(Y< \frac{32}{4})=P(Y<8)}\)
\(\displaystyle{ P(\chi^2_9<\chi^2(9, \alpha ))= \alpha}\)
\(\displaystyle{ \chi^2(9, \alpha )=8}\) zatem odczytując z tablic: \(\displaystyle{ \alpha \approx 0,55}\)
Zatem: \(\displaystyle{ P(\sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline X_{10})^2<32) \approx 0,55}\)
prawdopodobieństwo rozkładu chi kwadrat
-
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 12 lut 2011, o 19:39
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 13 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 12 lut 2011, o 19:39
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 13 razy
prawdopodobieństwo rozkładu chi kwadrat
ale obliczenia i rozumowanie dobre? i dlaczego \(\displaystyle{ \approx 0,45?}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 12 lut 2011, o 19:39
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 13 razy
prawdopodobieństwo rozkładu chi kwadrat
tak z wikipedii w takim razie juz wszystko jasne. musze ten wyniki odjąć od jedności i wyjdzie ładnie pięknie dzięki wielkie