prawdopodobieństwo rozkładu chi kwadrat

[kajusia12312]

Witam. Mógłby ktoś sprawdzić rozwiązanie do zadania i ewentualnie poproawić błędy?

Zadanie.
Załóżmy że zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) stanowią próbę prostą z rozkładu \(\displaystyle{ N(\mu,\sigma^2)}\). Jaki rozkład ma zmienna losowa \(\displaystyle{ \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X_n)^2}\)? Korzystając z tablic wyznaczyć wartość prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ P(\sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline X_{10})^2<32)}\) przyjąć \(\displaystyle{ \sigma^2=4}\)


Moje rozwiązanie:
Zmienna losowa \(\displaystyle{ \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X_n)^2}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \chi^2_{n-1}}\) o n-1 stopniach swobody.

\(\displaystyle{ P(\sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline X_{10})^2<32)=P( \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline X_{10})^2< \frac{1}{\sigma^2} 32)}\)
Oznaczmy: \(\displaystyle{ Y= \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline X_{10})^2}\) ma ona rozkład \(\displaystyle{ \chi^2_9}\)
Zatem podstawiając \(\displaystyle{ Y}\) oraz \(\displaystyle{ \sigma^2=4}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P(Y< \frac{32}{4})=P(Y<8)}\)
\(\displaystyle{ P(\chi^2_9<\chi^2(9, \alpha ))= \alpha}\)
\(\displaystyle{ \chi^2(9, \alpha )=8}\) zatem odczytując z tablic: \(\displaystyle{ \alpha \approx 0,55}\)
Zatem: \(\displaystyle{ P(\sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline X_{10})^2<32) \approx 0,55}\)

[robertm19]

Prawie \(\displaystyle{ \alpha \approx 0,45}\)

[kajusia12312]

ale obliczenia i rozumowanie dobre? i dlaczego \(\displaystyle{ \approx 0,45?}\)

[robertm19]

Z wikipedi brałaś tablice? Tam jest podany rozkład \(\displaystyle{ P(\chi^2>z)}\)

[kajusia12312]

tak z wikipedii w takim razie juz wszystko jasne. musze ten wyniki odjąć od jedności i wyjdzie ładnie pięknie dzięki wielkie