Witam.
Nie wiem, czy umieszczam temat we właściwym dziale; mam nadzieję, że tak.
Gdyby ktoś miał czas i ochotę pomóc mi w rozwiązaniu poniższych dwóch zadań, byłbym bardzo wdzięczny.
1) Rozważ wektor zmiennych losowych \(\displaystyle{ X = [ X_{1}, X_{2}] ^{T}}\) o wartości średniej \(\displaystyle{ m _{X}}\) i kowariancji \(\displaystyle{ \Sigma_{X}}\).
\(\displaystyle{ m _{X} = \begin{bmatrix} 3\\4\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \Sigma_{X} = \begin{bmatrix} 5&4\\4&5\end{bmatrix}}\)
Wiedząc, że:
\(\displaystyle{ \Sigma_{X} = W \Lambda W^{T}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \Lambda}\) - macierz diagonalna, z wartościami własnymi macierzy \(\displaystyle{ \Sigma_{X}}\) na przekątnej
\(\displaystyle{ W}\) - macierz wektorów własnych
a) naszkicuj elipsoidę kowariancji X. Jaki jest współczynnik korelacji pomiędzy \(\displaystyle{ X_{1}}\) a \(\displaystyle{ X_{2}}\)
b) Załóż wektor \(\displaystyle{ Z = [ Z_{1}, Z_{2}] ^{T}}\), który składa się z dwóch nieskorelowanych zmiennych losowych o zerowej wartości średniej i jednostkowej wariancji.
Rozważ przekształcenie:
\(\displaystyle{ Y=W \Lambda^{ \frac{1}{2} } Z}\)
gdzie \(\displaystyle{ W}\) i \(\displaystyle{ \Lambda}\) to zdefiniowane wcześniej macierze.
Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \Sigma_{Y} = \Sigma_{X}}\)
Szczególnie podpunkt B jest dla mnie ważny.
Jest jeszcze drugie zadanie, chyba trochę lżejsze, ale i tak mam z nim problem.
2. Rozważ wektor zmiennych losowych \(\displaystyle{ X}\) o zerowej wartości średniej i macierzy kowariancji \(\displaystyle{ \Sigma_{X}}\).
\(\displaystyle{ \Sigma_{X} = E[XX^{T}] = W \Lambda W^{T}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \Lambda}\) - macierz diagonalna, z wartościami własnymi macierzy \(\displaystyle{ \Sigma_{X}}\) na przekątnej
\(\displaystyle{ W}\) - macierz wektorów własnych
Niech:
\(\displaystyle{ Y=W \Lambda^{ -\frac{1}{2} } W^{T}X}\)
Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \Sigma_{Y}= I}\)
I tutaj tez jestem w kropce, bo dochodzę do sytuacji, gdzie nie mam już żadnych innych możliwości:
\(\displaystyle{ Y= W \Lambda W^{T}X \Lambda^{ -\frac{3}{2}}}\)
\(\displaystyle{ Y= \Sigma_{X}X \Lambda^{-\frac{3}{2}}}\)
Podejrzewam, że mój sposób myślenie jest niewłaściwy...
Z góry dziękuję za każda wskazówkę!