Dowodzenie z kowariancją

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
jankud12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 8 cze 2013, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Dowodzenie z kowariancją

Post autor: jankud12 »

Witam.

Nie wiem, czy umieszczam temat we właściwym dziale; mam nadzieję, że tak.
Gdyby ktoś miał czas i ochotę pomóc mi w rozwiązaniu poniższych dwóch zadań, byłbym bardzo wdzięczny.

1) Rozważ wektor zmiennych losowych \(\displaystyle{ X = [ X_{1}, X_{2}] ^{T}}\) o wartości średniej \(\displaystyle{ m _{X}}\) i kowariancji \(\displaystyle{ \Sigma_{X}}\).

\(\displaystyle{ m _{X} = \begin{bmatrix} 3\\4\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \Sigma_{X} = \begin{bmatrix} 5&4\\4&5\end{bmatrix}}\)

Wiedząc, że:

\(\displaystyle{ \Sigma_{X} = W \Lambda W^{T}}\)

gdzie:
\(\displaystyle{ \Lambda}\) - macierz diagonalna, z wartościami własnymi macierzy \(\displaystyle{ \Sigma_{X}}\) na przekątnej
\(\displaystyle{ W}\) - macierz wektorów własnych

a) naszkicuj elipsoidę kowariancji X. Jaki jest współczynnik korelacji pomiędzy \(\displaystyle{ X_{1}}\) a \(\displaystyle{ X_{2}}\)

b) Załóż wektor \(\displaystyle{ Z = [ Z_{1}, Z_{2}] ^{T}}\), który składa się z dwóch nieskorelowanych zmiennych losowych o zerowej wartości średniej i jednostkowej wariancji.
Rozważ przekształcenie:

\(\displaystyle{ Y=W \Lambda^{ \frac{1}{2} } Z}\)

gdzie \(\displaystyle{ W}\) i \(\displaystyle{ \Lambda}\) to zdefiniowane wcześniej macierze.
Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ \Sigma_{Y} = \Sigma_{X}}\)


Szczególnie podpunkt B jest dla mnie ważny.
Jest jeszcze drugie zadanie, chyba trochę lżejsze, ale i tak mam z nim problem.

2. Rozważ wektor zmiennych losowych \(\displaystyle{ X}\) o zerowej wartości średniej i macierzy kowariancji \(\displaystyle{ \Sigma_{X}}\).

\(\displaystyle{ \Sigma_{X} = E[XX^{T}] = W \Lambda W^{T}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \Lambda}\) - macierz diagonalna, z wartościami własnymi macierzy \(\displaystyle{ \Sigma_{X}}\) na przekątnej
\(\displaystyle{ W}\) - macierz wektorów własnych

Niech:
\(\displaystyle{ Y=W \Lambda^{ -\frac{1}{2} } W^{T}X}\)

Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \Sigma_{Y}= I}\)



I tutaj tez jestem w kropce, bo dochodzę do sytuacji, gdzie nie mam już żadnych innych możliwości:

\(\displaystyle{ Y= W \Lambda W^{T}X \Lambda^{ -\frac{3}{2}}}\)
\(\displaystyle{ Y= \Sigma_{X}X \Lambda^{-\frac{3}{2}}}\)

Podejrzewam, że mój sposób myślenie jest niewłaściwy...

Z góry dziękuję za każda wskazówkę!
ODPOWIEDZ