Witam.
Czy mógłby ktoś pomóc w rozwiązaniu zadania?
Zadanie.
\(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową. Załóżmy, że zmienna Y ma rozkład o gęstości:
\(\displaystyle{ f(t)= \frac{1}{\left| 1+t\right|^3 }, t \in R}\)
Wyznaczyć kwantyl rzędu 0,75 rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X=|Y|}\).
kwantyl zmiennej losowej
-
kajusia12312
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 12 lut 2011, o 19:39
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 13 razy
-
szw1710
kwantyl zmiennej losowej
Kwantyle wyznaczamy w oparciu o dystrybuantę A zatem musisz wyznaczyć najpierw gęstość, a potem dystrybuantę \(\displaystyle{ F}\) zmiennej \(\displaystyle{ Y}\). Szukany kwantyl \(\displaystyle{ Q_3}\) określa równanie \(\displaystyle{ F(Q_3)=0.75}\). Kwantyl rzędu \(\displaystyle{ 0.75}\) nazywamy trzecim kwartylem.
-
kajusia12312
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 12 lut 2011, o 19:39
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 13 razy
kwantyl zmiennej losowej
Czyli:
Oznaczymy: \(\displaystyle{ x_ \alpha}\) - kwantyl ; \(\displaystyle{ \alpha =0,75}\) -rząd kwantylu
\(\displaystyle{ f_Y(t)=\frac{1}{|1+t|^3}}\) zatem z parzystości gęstości mamy: \(\displaystyle{ f_{|Y|=X}(t)=\frac{2}{|1+t|^3}}\)
Dalej liczymy dystybuante zmiennej X.
\(\displaystyle{ F_X(x_ \alpha )= \int_{- \infty }^{x_ \alpha } \frac{2}{|1+t|^3}dt=[- \frac{1}{(t+1)^2}]_{- \infty }^{x_ \alpha }=- \frac{1}{(x_ \alpha +1)^2}}\)
teraz szukamy takiego \(\displaystyle{ x_ \alpha}\), że \(\displaystyle{ F_X(x_ \alpha )=- \frac{1}{(x_ \alpha +1)^2}=0,75}\)
Zatem :\(\displaystyle{ - \frac{1}{(x_ \alpha +1)^2}=0,75 \Leftrightarrow -1=0,75(x_\alpha +1)^2\Leftrightarrow x_\alpha=- \sqrt{ \frac{1}{0,75} } =0,1547}\)
Dobrze?
Oznaczymy: \(\displaystyle{ x_ \alpha}\) - kwantyl ; \(\displaystyle{ \alpha =0,75}\) -rząd kwantylu
\(\displaystyle{ f_Y(t)=\frac{1}{|1+t|^3}}\) zatem z parzystości gęstości mamy: \(\displaystyle{ f_{|Y|=X}(t)=\frac{2}{|1+t|^3}}\)
Dalej liczymy dystybuante zmiennej X.
\(\displaystyle{ F_X(x_ \alpha )= \int_{- \infty }^{x_ \alpha } \frac{2}{|1+t|^3}dt=[- \frac{1}{(t+1)^2}]_{- \infty }^{x_ \alpha }=- \frac{1}{(x_ \alpha +1)^2}}\)
teraz szukamy takiego \(\displaystyle{ x_ \alpha}\), że \(\displaystyle{ F_X(x_ \alpha )=- \frac{1}{(x_ \alpha +1)^2}=0,75}\)
Zatem :\(\displaystyle{ - \frac{1}{(x_ \alpha +1)^2}=0,75 \Leftrightarrow -1=0,75(x_\alpha +1)^2\Leftrightarrow x_\alpha=- \sqrt{ \frac{1}{0,75} } =0,1547}\)
Dobrze?