Witam.
Czy mógłby ktoś pomóc w rozwiązaniu zadania?
Zadanie.
\(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) jest próbą prostą z rozkładu \(\displaystyle{ N(\mu,\sigma^2)}\), \(\displaystyle{ \mu}\) jest nieznanym parametrem rzeczywistym. Pokazać, że \(\displaystyle{ (\overline{X}_n)}\) jest ciągiem zgodnym estymatorów parametru \(\displaystyle{ \mu}\).
estymator zgodny
-
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 12 lut 2011, o 19:39
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 13 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
estymator zgodny
\(\displaystyle{ \overline{X}_n \sim N\left( \frac{\sum_{i=1}^{n}\mu}{n} , \frac{\sum_{i=1}^{n}\sigma^{2}}{n^{2}} \right) = N \left( \mu , \frac{\sigma^{2}}{n} \right)}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ 1-P( |\overline{X}_n - \mu | < \varepsilon ) = P(|\overline{X}_n - \mu | > \varepsilon ) \le \frac{Var\overline{X}_n}{\varepsilon ^{2} } = \frac{\sigma^{2}}{n \varepsilon} \rightarrow 0.}\)
Nierówność wynika z nierówności Czebyszewa. Stąd mamy:
\(\displaystyle{ P( |\overline{X}_n - \mu | < \varepsilon ) \rightarrow 1.}\)
Więc ciąg estymatorów jest (słabo) zgodny. Mocno zgodny też jest, co łatwo pokazać z MPWL.
Mamy:
\(\displaystyle{ 1-P( |\overline{X}_n - \mu | < \varepsilon ) = P(|\overline{X}_n - \mu | > \varepsilon ) \le \frac{Var\overline{X}_n}{\varepsilon ^{2} } = \frac{\sigma^{2}}{n \varepsilon} \rightarrow 0.}\)
Nierówność wynika z nierówności Czebyszewa. Stąd mamy:
\(\displaystyle{ P( |\overline{X}_n - \mu | < \varepsilon ) \rightarrow 1.}\)
Więc ciąg estymatorów jest (słabo) zgodny. Mocno zgodny też jest, co łatwo pokazać z MPWL.
-
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 12 lut 2011, o 19:39
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 13 razy