estymator zgodny

[kajusia12312]

Witam.
Czy mógłby ktoś pomóc w rozwiązaniu zadania?

Zadanie.
\(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) jest próbą prostą z rozkładu \(\displaystyle{ N(\mu,\sigma^2)}\), \(\displaystyle{ \mu}\) jest nieznanym parametrem rzeczywistym. Pokazać, że \(\displaystyle{ (\overline{X}_n)}\) jest ciągiem zgodnym estymatorów parametru \(\displaystyle{ \mu}\).

[Adifek]

\(\displaystyle{ \overline{X}_n \sim N\left( \frac{\sum_{i=1}^{n}\mu}{n} , \frac{\sum_{i=1}^{n}\sigma^{2}}{n^{2}} \right) = N \left( \mu , \frac{\sigma^{2}}{n} \right)}\)

Mamy:

\(\displaystyle{ 1-P( |\overline{X}_n - \mu | < \varepsilon ) = P(|\overline{X}_n - \mu | > \varepsilon ) \le \frac{Var\overline{X}_n}{\varepsilon ^{2} } = \frac{\sigma^{2}}{n \varepsilon} \rightarrow 0.}\)

Nierówność wynika z nierówności Czebyszewa. Stąd mamy:

\(\displaystyle{ P( |\overline{X}_n - \mu | < \varepsilon ) \rightarrow 1.}\)

Więc ciąg estymatorów jest (słabo) zgodny. Mocno zgodny też jest, co łatwo pokazać z MPWL.

[kajusia12312]

Dzieki wielkie