Estymator nieobciążony

[kajusia12312]

Witam.
Czy mógłby ktoś pomóc w rozwiązaniu zadania?

Zadanie
\(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) jest próbą prostą z rozkładu \(\displaystyle{ N(\mu,\sigma^2)}\),\(\displaystyle{ \mu}\) jest nieznanym parametrem rzeczywistym. Rozważmy dwa estymatory parametru \(\displaystyle{ \mu^2}\):
\(\displaystyle{ \overline{\mu}_1= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X^{2}_{i}}\)

\(\displaystyle{ \overline{\mu}_2=(\overline{X}_n)^2}\)

a) Sprawdzić czy są to estymatory nieobciążone. Jeśli nie to zmodyfikować je tak, alby otrzymać estymatory nieobciążone. Rozważyć zarówno przypadek, gdy \(\displaystyle{ \sigma^2}\) jest znane jak i nieznane.
b) Obliczyć błedy średniokwadratowe estymatorów \(\displaystyle{ \overline{\mu}_1}\)i\(\displaystyle{ \overline{\mu}_2}\)(przed modyfikacją)

[Adifek]

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X_{i}^{2} = Var_{X_{i}}+ \left( \mathbb{E}X_{i}\right)^{2} = \sigma^{2} +\mu^{2}}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \mathbb{E}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X^{2}_{i} = \frac{1}{n} \cdot n\left( \sigma^{2}+\mu ^{2}\right) = \sigma^{2} +\mu^{2}}\)

Czyli nie jest nieobciążony. Jak nietrudno zauważyć, żeby był nieobciążony trzeba od niego odjąć \(\displaystyle{ \sigma^{2}}\).

Podobnie:

\(\displaystyle{ \mathbb{E} \hat{\mu_{2}} = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}X_{i}^{2} + \frac{2 }{n^{2}} \sum_{1 \le i<j \le n}\mathbb{E}X_{i} X_{j} = \frac{1}{n} \left( \sigma^{2} +\mu^{2}\right) + \frac{2 {n \choose 2} }{n^{2}} \mathbb{E}X_{1} \mathbb{E} X_{2} = \frac{1}{n} \left( \sigma^{2} +\mu^{2}\right) + \frac{2 \cdot n!}{n^{2} \cdot 2! (n-2)! } \mu^{2} = \frac{1}{n} \left( \sigma^{2} +\mu^{2}\right) + \frac{ n-1}{n } \mu^{2} = \mu^{2} + \frac{\sigma^{2}}{n}}\)

b) Liczyć na piechotę to trochę lipa, lepiej się wykpić znajdując w necie jakie to są rozkłady

[kajusia12312]

dzieki wielkie