Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez

[Nassty]

Hej, mam problem z zadaniem danym mi na uczelni. Nie mam zielonego pojęcia nawet jak się do niego zabrać gdyż nie było mnie na tych zajęciach a żaden z moich znajomych się na matmie niestety nie zna. Gdyby znalazł się ktoś kto chociaż mógłby mnie nakierować jak to zadanie obliczyć byłabym bardzo wdzięczna, gdyż jest to zadanie na zaliczenie semestru. Brzmi następująco:

Dokonano 25 pomiarów zawartości witaminy C ( w mg) w 100 g owoców agrestu i otrzymano \(\displaystyle{ \sum_{}^{} x_{i}}\)=840, \(\displaystyle{ \sum_{}^{}(x_{i}-\overline{x}) ^{2}}\)=378. Czy na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha}\) =0,01 można przyjąć, że przeciętna zawartość witaminy C w owocach agrestu wynosi 30 mg?

Z góry dziękuję każdemu kto chociaż zerknie na to zadanie

[kolorowe skarpetki]

Rozwiązanie: \(\displaystyle{ n=25}\) , \(\displaystyle{ \sum \limits_{i=1}^{25} x_i=840}\) , \(\displaystyle{ \sum \limits_{i=1}^{25} \left (x_i - \overline{x} \right )^2=378}\) , \(\displaystyle{ \alpha=0,01}\) , \(\displaystyle{ m_0=30}\)

Można przyjąć, że zawartość witaminy C (w mg) w 100 g agrestu ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N} (m,\sigma)}\), przy czym odchylenie standardowe nie jest znane. W oparciu o wyniki małej, 25-elementowej próby losowej należy zweryfikować hipotezę

\(\displaystyle{ H_0 : \quad m=30 \quad , \quad H_1 : m \neq 30}\) .

Obliczamy
\(\displaystyle{ \overline{x}=\frac{\sum \limits_{i=1}^{n} x_i}{n}=\frac{840}{25}=33,6}\)

\(\displaystyle{ s=\sqrt{\frac{\sum \limits_{i=1}^{n} \left (x_i - \overline{x} \right )^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{378}{24}}=3,97}\)

Następnie wyliczamy wartość statystyki

\(\displaystyle{ t=\frac{\overline{x}-m_0}{s} \cdot \sqrt{n}}\) - ma rozkład Studenta o \(\displaystyle{ n-1}\) stopniach swobody,

czyli \(\displaystyle{ t_{obs}=\frac{33,6-30}{3,97} \cdot 5=4,534}\).

Z tablicy rozkładu t-Studenta o \(\displaystyle{ n-1=24}\) stopniach swobody i poziomu istotności \(\displaystyle{ \alpha=0,01}\) odczytujemy taką wartość \(\displaystyle{ t_{\alpha}}\), że

\(\displaystyle{ P \left \{ \vert t \vert \geq t_{\alpha} \right \}=\alpha}\),

czyli \(\displaystyle{ t_{0,01}=2,797}\).

Zbiór krytyczny \(\displaystyle{ W=(- \infty ,-t_{\alpha}\rangle \cup \langle t_{\alpha},+ \infty )=(- \infty ;-2,797 \rangle \cup \langle 2,797; + \infty )}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ t_{\alpha} \in W}\), to odrzucamy hipotezę \(\displaystyle{ H_0}\) na rzecz hipotezy \(\displaystyle{ H_1}\).

Odp. Przeciętna zawartość witaminy C w owocach agrestu nie wynosi 30 mg.

[eskimos]

Witam, mam podobny problem z rozwiązaniem zadania, będącego zaliczeniem semestralnym treść brzmi tak:
U wybranych losowo 17 roślin grochu wykonano pomiary wysokości roślin w cm i uzyskano wyniki:

\(\displaystyle{ \sum}\) = 1322, \(\displaystyle{ \sum}\)( \(\displaystyle{ x_{i}}\) -\(\displaystyle{ \overline{x}}\)\(\displaystyle{ )^{2}}\)= 106,4 . Czy na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha}\) = 0,05 można przyjąć, że średnia populacyjna wysokość tej rośliny jest mniejsza niż 67 cm?

Z góry dziękuję za pomoc

[kolorowe skarpetki]

Zadanie jest analogiczne. Spróbuj samodzielnie Możesz przedstawiać po kawałku rozwiązanie, a ktoś będzie weryfikował czy poprawnie.

[eskimos]

Spróbowałam sama i wyszło mi tak :
\(\displaystyle{ \overline{x}}\) = 77,76
s = 2,57
\(\displaystyle{ t_{obs}}\) = 97,47
\(\displaystyle{ t_{0.05}}\) = 2,119
i nie wiem jak zrobić zbiór krytyczny i jak go zinterpretować, czy on będzie taki sam jak w tym pierwszym zadaniu tylko z moimi danymi czy inny?-- 3 cze 2013, o 17:24 --jednak : \(\displaystyle{ t_{obs}}\) = 16,76

[kolorowe skarpetki]

\(\displaystyle{ s=2,58}\)

Wartość \(\displaystyle{ t}\) i zbiór krytyczny zależą od tego jaką hipotezę alternatywną przyjmiesz (\(\displaystyle{ H_1}\)). Co weryfikujesz?