Estymatory największej wiarygodności dwóch parametrów.

[Fengson]

Witam,
Mam takie zadanie, jest ono dodatkowe, więc nie spodziewam się, że jest bardzo proste, ale sam nie wymyśliłem nic, a może ktoś akurat potrafi

Znaleźć estymatory największej wiarygodności parametrów m oraz σ.

[miodzio1988]

....super, że napisałeś w jakim rozkładzie.

Wiadomo, że w normalnym.

Funkcje wiarygodności zatem napisz

[Fengson]

Temat jest mi zupełnie obcy, a to była cała treść jaką dostałem, więc nie wiedziałem, że brakuje informacjo o rozkładzie.
Czy chodzi o tę funkcję?

\(\displaystyle{ L( x_{1}, ..., x_{n};\theta_{1}, ...,\theta_{r}) = \prod_{i=i}^{n}f(x_{i}, \theta_{1}, ...,\theta_{r})}\)

[miodzio1988]

Zgadza się. Taką funkcję stwórz na swoim przykładzie. Jeżeli nie masz rozkładu to nie można zrobić zadania.

[Fengson]

Czy zakładając, że rozkład jest normalny, moja funkcja będzie miała taką postać?

\(\displaystyle{ f(x,m,\theta) = \frac{1}{ \sqrt{2\pi\theta}} \exp(- \frac{(x-m)^{2}}{2\theta})}\)

[miodzio1988]

Zgadza się. Teraz \(\displaystyle{ L}\) wyznacz

[Fengson]

Z tego co wyczytałem, mogę wyznaczyć \(\displaystyle{ lnL(\theta)}\) gdyż osiąga maksimum dla tej samej wartości co \(\displaystyle{ L(\theta)}\), a w naszym przypadku uprości obliczenia. Zatem :

\(\displaystyle{ ln f(x,m,\theta) = -ln \sqrt{2\pi\theta} - \frac{ (x-m)^{2}}{2\theta} = - \frac{1}{2}ln2\pi\theta - \frac{ (x-m)^{2}}{2\theta} = - \frac{1}{2}ln2\pi - \frac{1}{2}ln2\theta - \frac{ (x-m)^{2}}{2\theta}}\)

Stąd :

\(\displaystyle{ lnL(x,m,\theta) = \sum_{i=1}^{N}lnf(x,m,\theta)}\)

Następnie liczę \(\displaystyle{ \frac{\partial lnL}{\partial m} = 0}\) co da mi estymator m. Podobnie robię dla \(\displaystyle{ \theta}\) i to będzie mój wynik?

[miodzio1988]

zgadza się, tak się rozwiązuje takie zadania