najmocniejszy test hipotezy i moc testu.

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
kajusia12312
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 12 lut 2011, o 19:39
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 13 razy

najmocniejszy test hipotezy i moc testu.

Post autor: kajusia12312 »

Witam.
Czy mógłby ktoś sprawdzić rozwiązanie? (ewentualnie poprawić błędy)
Zad. X jesr jednoelementową próbą z rozkładu o jednej z dwóch gęstości:
\(\displaystyle{ f_0(x)= \frac{3}{2}x^2||_{[-1,1]}(x); x \in \RR}\) lub
\(\displaystyle{ f_1(x)= \frac{3}{4}(1-x^2)||_{[-1,1]}(x); x \in \RR}\)
Wyznaczyć najmocniejszy test hipotezy. \(\displaystyle{ H_0:}\)"zmienna losowa X pochodzi z rozkładu o gęstości \(\displaystyle{ f_0"}\) przeciwko hipotezie \(\displaystyle{ H_1:}\)"zmienna losowa X pochodzi z rozkładu o gęstości \(\displaystyle{ f_1"}\) Przyjąć poziom istotności \(\displaystyle{ \alpha =0,02}\). Obliczyć moc testu.

Moje rozwiązanie:
Badamy iloraz : \(\displaystyle{ \frac{f_1(x)}{f_0(x)} = \frac{ \frac{3}{4}(1-x^2) }{ \frac{3}{2}x^2 }= \frac{3(1-x^2)}{4} \cdot \frac{2}{3x^2}= \frac{1-x^2}{2x^2}}\)
Dla c>0 sprawdzamy kiedy \(\displaystyle{ \frac{f_1(x)}{f_0(x)} \ge c}\)
\(\displaystyle{ \frac{1-x^2}{2x^2} \ge c \Leftrightarrow x \in [- \sqrt{ \frac{1}{2c+1}},\sqrt{ \frac{1}{2c+1}] }}\)
Rozważmy test zrandomizowany ze statystyką testową X oraz zbiór krytyczny postaci \(\displaystyle{ K_a=[-a,a] a \ge 0}\) Sprawdzamy czy istnieje \(\displaystyle{ a \ge 0}\) takie, że rozważany test ma rozmiar \(\displaystyle{ \alpha =0,02}\).
Rozmiar naszego testu:
\(\displaystyle{ P_0(X \in K_a)=P_0(X \in [-a,a])= \int_{-a}^{a} \frac{3}{2}x^2dx= \frac{3}{2}\int_{-a}^{a}x^2dx= \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}[a^3+a^3]=a^3}\)
\(\displaystyle{ a^3=0,02 \Leftrightarrow a= \sqrt[3]{0,02}}\)
Dla \(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{0,02}}\) otrzymujemy najmocniejszy tesr na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha =0,02}\)
Moc tego testu:
\(\displaystyle{ P_1(x)(X \in K_a)=P_1(X \in [-a,a])= \int_{-a}^{a} \frac{3}{4}(1-x^2)dx=}\)\(\displaystyle{ \frac{3}{4}(-a-\frac{1}{3}(-a)^3-[a- \frac{1}{3} a^3])=- \frac{3}{2}a+ \frac{1}{2}a^3}\)
\(\displaystyle{ - \frac{3}{2} \sqrt[3]{0,02}+ \frac{1}{2}( \sqrt[3]{0,02})^3=-0,397}\)
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

najmocniejszy test hipotezy i moc testu.

Post autor: robertm19 »

Można ten fragment jeszcze uprościć.
\(\displaystyle{ \frac{1-x^2}{2x^2} \ge c}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2x^2}- \frac{1}{2} \ge c}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2x^2}\ge c'}\)
\(\displaystyle{ 1\ge 2x^2c'}\)
\(\displaystyle{ c''\ge x^2}\)

Coś z mocą jest nie tak, bo nie powinna wyjść liczba ujemna. (źle całka policzona)
ODPOWIEDZ