Gęstość prawdopodobieństwa

[sandra-91]

\(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} ((1+ax)(1+ay)-a)e^{-x-y-axy} &\text{dla } 0<x, 0<y, 0<a<1\\0 &\text{dla pozostałych } x,y \end{cases}}\)

mam znaleźć rozkłady warunkowe, obliczyłam:

\(\displaystyle{ f(y|x) = \begin{cases} ((1+ax)(1+ay)-a)e^{y(1+ax)} &\text{dla } y>0\\0 &\text{dla } y \le 0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f(x|y) = \begin{cases} ((1+ax)(1+ay)-a)e^{x(1+ay)} &\text{dla } x>0\\0 &\text{dla } x \le 0\end{cases}}\)

Dobrze?

Bo w odpowiedziach widnieje inny wynik, taki:
\(\displaystyle{ f(y|x) = \begin{cases} ((1+ax)(1+ay)-a)e^{(1+ax)} &\text{dla } y>0\\0 &\text{dla } y \le 0\end{cases}}\)

[miodzio1988]

policz całki z dwóch wyników. Zobacz która daje jedynke

[sandra-91]

Bez sensu, zajmie mi to więcej czasu. Nie możesz napisać, które z nich są dobrze rozwiązane?

Wyliczyłam, że gęstość brzegowa \(\displaystyle{ f(x)}\) wynosi \(\displaystyle{ e^{-x}}\), a \(\displaystyle{ f(y) = e^{-y}}\). Choć nie jestem pewna.

[miodzio1988]

łatwo to możesz sprawdzić, dużo nie masz liczenia, wystarczy początek całki obliczyć

[sandra-91]

Tak mam obliczyć?

\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty}((1+ax)(1+ay)-a)e^{y(1+ax)} dxdy = 1}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} ((1+ax)(1+ay)-a)e^{(1+ax)} dxdy = 1}\)

[miodzio1988]

No nie....Zależne tylko od \(\displaystyle{ y}\)

[sandra-91]

No nie....Zależne tylko od \(\displaystyle{ y}\)

Aaa, czyli

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{y}((1+ax)(1+ay)-a)e^{y(1+ax)} dy = 1}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{y} ((1+ax)(1+ay)-a)e^{(1+ax)} dy = 1}\)