Test najmocniejszy

[robertm19]

Załóżmy, że dysponujemy pojedynczą obserwacją X z rozkładu Laplace'a o gęstości
\(\displaystyle{ f_{\mu,\lambda}=\frac{\lambda}{2}\exp(-\lambda|x-\mu|)}\),
gdzie \(\displaystyle{ \lambda>0}\) i\(\displaystyle{ \mu}\) rzeczywiste.
Rozważmy zadanie testowania hipotezy
H0 \(\displaystyle{ \lambda=0,5}\) \(\displaystyle{ \mu=-1}\) przeciwko H1: \(\displaystyle{ \lambda=1}\) \(\displaystyle{ \mu=0}\)
Obszar krytyczny testu najmocniejszego na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha}\) jest postaci
\(\displaystyle{ K=\{x: x\in (b,2)\}}\)
Obliczyc moc testu.

[rafalpw]

Na mocy lematu Neymana-Pearsona test najmocniejszy jest postaci:

\(\displaystyle{ \varphi(x)= \begin{cases} 1 \mbox{ dla } \frac{f_{H_1}(x)}{f_{H_0}(x)}>c \\ 0 \mbox { w p.p.} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \frac{f_{H_1}(x)}{f_{H_0}(x)}=2e^{-\left| x\right|+ \frac{1}{2}\left| x+1\right| }>c}\) , czyli równoważnie \(\displaystyle{ -\left| x\right|+ \frac{1}{2}\left| x+1\right| >c_1}\)

Dla \(\displaystyle{ c_1<-1}\) obszar krytyczny jest równy: \(\displaystyle{ \left( 2c_1+1,1-2c_1\right)}\)

Dla \(\displaystyle{ c_1 in left[ -1, frac{1}{2}
ight)}\) obszar krytyczny jest równy: \(\displaystyle{ \left( \frac{2c_1-1}{3} ,1-2c_1\right)}\)

Dla \(\displaystyle{ c_1 \ge \frac{1}{2}}\) obszar krytyczny jest równy : \(\displaystyle{ \emptyset}\)

Żeby zatem obszar krytyczny był równy \(\displaystyle{ \left(b,2\right)}\) , to \(\displaystyle{ c_1=- \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ b= -\frac{2}{3}}\)

Moc testu zatem wynosi:

\(\displaystyle{ \int_{-\frac{2}{3}}^{2} \frac{1}{2}e^{-\left| x\right| } \mbox{d}x =1- \frac{1}{2}\left( e^{- \frac{2}{3} }+e^{-2}\right)}\)

[robertm19]

To było 2 lata temu, już nawet zdążyłem zdać egzaminy!!

[rafalpw]

Było, ale może komuś się przyda. Gratulacje.