Który estymator jest lepszy?

[bienieck]

Mam dwa estymatory wariancji \(\displaystyle{ \delta^{2}}\).
\(\displaystyle{ S^{2}= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left( X_{i}-\overline{X}\right)^{2}}\)
\(\displaystyle{ W^{2}= \frac{1}{2n-2} \sum_{i=1}^{n-1}\left( X_{i+1}-X\right)^{2}}\)
Który z nich pozwala lepiej ocenić wariancję?

Powinienem porównać wariancje tych estymatorów? Jak tak to mogę poprosić o wskazówki jak się liczy takie wariancje (Jakie własności tu wykorzystać)?

[acmilan]

Raczej wartości oczekiwane. Ten pierwszy powinien być lepszy jako nieobciążony.

[bienieck]

A jak przekształcić to?
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-1} Var(X_{i+1}^{2}-2X_{i+1}X_{i}+X_{i}^{2})}\), gdy \(\displaystyle{ EX=m}\), \(\displaystyle{ VarX=\sigma^{2}}\), \(\displaystyle{ E \overline{X}=m}\) i \(\displaystyle{ Var \overline{X}= \frac{\sigma^{2}}{n}}\)

[robertm19]

Raczej wartości oczekiwane. Ten pierwszy powinien być lepszy jako nieobciążony.

Nie zawsze nieobciążony estymator jest lepszy.

[bienieck]

Na ćwiczeniach zasugerowano mi aby policzyć wariancje obu estymatorów i lepszy będzie ten który będzie mieć mniejszą wariancję. Ale nie mam pomysłu na jakieś rozsądne przekształcenie żeby to policzyć.

[robertm19]

A masz podany jakiś konkretny rozkład?
Wariancję porównuje się wtedy, gdy oba są nieobciążone.

[bienieck]

\(\displaystyle{ X \sim N(m, \sigma)}\),
oba są nieobciążone.

[robertm19]

To upraszcza sprawę. Porównać trzeba \(\displaystyle{ EL(g,\sigma^2)=E(g-\sigma^2)^2}\), a to jest równe sumie wariancji i obciążenia estymatora. Pierwszy jest nieobciążony, więc drugi składnik wynosi 0. Resztę trzeba policzyć. Strasznie dużo liczenia ale powinno się udać.

[bienieck]

A czym jest EL i g ?

[robertm19]

Wartość oczekiwana z funkcji straty równej: \(\displaystyle{ L=(g(X)-\sigma^2)^2}\)

[bienieck]

a g()?-- 25 maja 2013, o 14:37 --Oba estymatory są nieobciążone więc z tego co napisałeś rozumiem że mam porównać tylko sumy wariancji (a te ułamki co przed sumą stoją nie są istotne?).

[robertm19]

Estymatorem opartym o próbę X.
Może niezbyt jasno się wyrażam. Dlatego tutaj masz coś o estymatorach.

[bienieck]

Wydaje mi się, że jest to metoda na około.

-- 25 maja 2013, o 14:54 --

A należałoby zrobić porównanie:

\(\displaystyle{ n \cdot Var\left( X_{i}- \overline{X}\right)^{2}}\) z \(\displaystyle{ \frac{1}{4} (n-1) \cdot Var\left( X_{i+1}- X_{i}\right)^{2}}\)

Tylko potrzebny tu jest jakiś spryt w przekształceniach i tyle.

[robertm19]

Dla pierwszego estymatora należy skorzystać z tego że \(\displaystyle{ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}}\) ma rozklad \(\displaystyle{ \chi_{n-1}^2}\).