Witam !
Mam do zrobienia zadanie:
W celu oszacowania średniego czasu pozostawania na bezrobociu wybrano w sposób losowy 7 bezrobotnych i obserwowano ich do momentu znalezenia przez nich pracy. Bezrobotni znaleźli pracę odpowiednio po(dniach): 51,115,150,190,217,228,350.
Wiedząc, że czas pozostawania na bezrobocoiu ma rozkład wykładniczy o gęstości danej:(tutaj podana podstawowy wzór na gęstość o rozkładzie wykładniczy)
Znaleźć ocenę wartości przeciętnej czasu pozostawania na bezrobociu oraz ocenę parametru \(\displaystyle{ \lambda}\) tego rozkładu.
Nie wiem za bardzo jak zabrać się do tego zadania, nie rozumiem dlaczego mam podany tutaj rozkład wykładniczy.
Estymacja punktowa
Estymacja punktowa
Rozumiem, ale czy mógłbyś przedstawić algorytm postępowania przy obliczaniu tego typu zadania ? Bo nie jestem w stanie znaleźć podobnego typu zadań. Byłbym wdzięczny.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Estymacja punktowa
Estymatorem punktowym\(\displaystyle{ \overline{x}}\) średniego czasu przebywania na bezrobociu jest średnia z siedmioelementowej próby (moment I z próby).
Ocenę parametru \(\displaystyle{ \lambda}\) znajdujemy metodą największej wiarygodności.
Funkcja wiarygodności rozkładu wykładniczego:
\(\displaystyle{ l(\lambda)=\lambda e^{-\lambda x_{1}}...\lambda e^{-\lambda{n}}=\lambda^{n}e^{-\lambda\sum_{i=1}^{n}x{i}}=\lambda^{n}e^{-\lambda n\overline{x}}, n\overline{x}>0}\)
Po zlogarytmowaniu i zrózniczkowaniu
\(\displaystyle{ L(\lambda)=ln(l(\lambda)=nln(\lambda)-\lambda\cdot n\overline{x}.}\)
\(\displaystyle{ L'(\lambda)=\frac{n}{\lambda}-n\overline{x}}\)
Ekstrmum lokalne
\(\displaystyle{ L'(\lambda)=0 , \frac{n}{\lambda}-n\overline{x}=0}\)
\(\displaystyle{ \hat{\lambda}=\frac{1}{\overline{x}}}\)
Pozostało sprawdzenie czy jest to maksimum lokalne.
\(\displaystyle{ L''(\hat{\lambda})=-\frac{n}{(\hat{\lambda})^{2}}<0}\)
Co należało sprawdzić.
Odpowiadając na Twoje pytanie:
czas oczekiwania często modeluje się rozkładem wykładniczym.
Ocenę parametru \(\displaystyle{ \lambda}\) znajdujemy metodą największej wiarygodności.
Funkcja wiarygodności rozkładu wykładniczego:
\(\displaystyle{ l(\lambda)=\lambda e^{-\lambda x_{1}}...\lambda e^{-\lambda{n}}=\lambda^{n}e^{-\lambda\sum_{i=1}^{n}x{i}}=\lambda^{n}e^{-\lambda n\overline{x}}, n\overline{x}>0}\)
Po zlogarytmowaniu i zrózniczkowaniu
\(\displaystyle{ L(\lambda)=ln(l(\lambda)=nln(\lambda)-\lambda\cdot n\overline{x}.}\)
\(\displaystyle{ L'(\lambda)=\frac{n}{\lambda}-n\overline{x}}\)
Ekstrmum lokalne
\(\displaystyle{ L'(\lambda)=0 , \frac{n}{\lambda}-n\overline{x}=0}\)
\(\displaystyle{ \hat{\lambda}=\frac{1}{\overline{x}}}\)
Pozostało sprawdzenie czy jest to maksimum lokalne.
\(\displaystyle{ L''(\hat{\lambda})=-\frac{n}{(\hat{\lambda})^{2}}<0}\)
Co należało sprawdzić.
Odpowiadając na Twoje pytanie:
czas oczekiwania często modeluje się rozkładem wykładniczym.