Rozkład zmiennej losowej i wartość oczekiwana

[pdi90]

Witam.
Chciałbym się dowiedzieć czy dobrze to obliczam? Proszę wybaczyć pytanie, ale jestem ciemny z matematyki jak tabaka w rogu.

Treść zadania: "Rzucamy dwukrotnie kostką. Niech \(\displaystyle{ S}\) oznacza sumę wyników obu rzutów. Znajdź rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ S}\) i jej wartość oczekiwaną. Oblicz \(\displaystyle{ P(S>8)}\)"

KI - kostka 1
KII - kostka 2


[ciach]

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=36 (bo 6^2)

1.) Rozkład zmiennej: \\
P\left( x1=2\right)=\frac{1}{36}\\
P\left( x2=3\right)=\frac{2}{36}\\
P\left( x3=4\right)=\frac{3}{36}\\
P\left( x4=5\right)=\frac{4}{36}\\
P\left( x5=6\right)=\frac{5}{36}\\
P\left( x6=7\right)=\frac{6}{36}\\
P\left( x7=8\right)=\frac{5}{36}\\
P\left( x8=9\right)=\frac{4}{36}\\
P\left( x9=10\right)=\frac{3}{36}\\
P\left( x10=11\right)=\frac{2}{36}\\
P\left( x11=12\right)=\frac{1}{36}\\\\

A więc E(X) (wartość oczekiwana?):\\

\frac2*\frac{1}{36}+3*\frac{2}{36}+4*\frac{3}{36}+5*\frac{4}{36}+6*\frac{5}{36}+7*\frac{6}{36}+8*\frac{5}{36}+9*\frac{4}{36}+10*\frac{3}{36}+11*\frac{2}{36}+12*\frac{1}{36}=7}\)

[Nakahed90]

Wynik jest ok.

[pdi90]

A czy ktoś mógłby mi powiedzieć jak obliczyć łatwo \(\displaystyle{ P(S>8)}\). Potrafię to jedynie wyczytać jak sobie rozrysuje \(\displaystyle{ {\Omega}}\), wskazując palcem na tej tablicy którą sobie rozrysowuje, ale to taki łopatologiczny sposób. Wychodzi mi, że\(\displaystyle{ P(S>8)=\frac{10}{36} \approx 2,8}\) - ale obawiam się, że nie zawsze da się cos tak wyliczyć np. w przypadku bardzo dużej Ilości zdarzeń w próbie.

-- 22 maja 2013, o 17:30 --

Chyba już wiem, to jest : \(\displaystyle{ \frac{4}{36}+\frac{3}{36}+\frac{2}{36}+\frac{1}{36} = \frac{10}{36}}\) (nie muszę liczyć ile razy pojawiła się 9 10 11 12 w tabeli).

A co w sytuacji jeśli miałbym obliczyć, że \(\displaystyle{ P(4<S<8)}\) ?

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ P(4<S<8)=P(5 \le S \le 7)=P(S=5)+P(S=6)+P(S=7)=...}\)

[pdi90]

Nawet nie wiesz jak bardzo jestem Ci wdzięczny.

\(\displaystyle{ 4/36 + 5/36+6/36=15/36 \approx 0,42}\)

Mam też trochę trudniejsze zadanie (Bo z tego typu już jakoś sobie radzę).

Zad: Wyobraźmy sobie następującą sytuację: Dwie Osoby A i B, grają na pieniądze w "orła i reszkę". Gra polega na tym, że trzykrotnie rzucają monetą. Za każdą reszkę A dostaje 2 zł, a za orła traci 1 zł.
Zmienna losowa X jest równa sumie wygranej w grze przez A (jeśli gracz A jest stratny, traktujemy to jako wygraną ujemną). Znajdź rozkład zmiennej X, oraz jej wartość oczekiwaną. Oblicz Prawdopodobieństwo, że nie poniesiemy straty.-- 22 maja 2013, o 19:48 --Zad: Wyobraźmy sobie następującą sytuację: Dwie Osoby A i B, grają na pieniądze w "orła i reszkę". Gra polega na tym, że trzykrotnie rzucają monetą. Za każdą reszkę A dostaje 2 zł, a za orła traci 1 zł.
Zmienna losowa X jest równa sumie wygranej w grze przez A (jeśli gracz A jest stratny, traktujemy to jako wygraną ujemną). Znajdź rozkład zmiennej X, oraz jej wartość oczekiwaną. Oblicz Prawdopodobieństwo, że nie poniesiemy straty.

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=8 \\}\) (bo 2^3)
\(\displaystyle{ \\ \\ {\Omega}= { (o,o,o);(o,o,r);(o,r,o);(r;o;o);(r,r,r);(r,r,o);(r,o,r);(o,r,r)}}\)

Rozkład zmiennej (prawdopodobieństwo orła)

\(\displaystyle{ \\ P\left( x1=0\right)=\frac{1}{8}\\ P\left( x2=1\right)=\frac{3}{8}\\ P\left( x3=2\right)=\frac{3}{8}\\ P\left( x4=4\right)=\frac{1}{8}\\}\)

Tak samo sprawa się ma przy prawdopodobieństwie reszki:
\(\displaystyle{ \\ P\left( x1=0\right)=\frac{1}{8}\\ P\left( x2=1\right)=\frac{3}{8}\\ P\left( x3=2\right)=\frac{3}{8}\\ P\left( x4=4\right)=\frac{1}{8}\\}\)

Wartość zmiennej oczekiwanej X jest równa:
\(\displaystyle{ (1*3/8)+(2*3/8)+(3*1/8) = 12/8 = 4/3 = 1,25?}\)

[Nakahed90]

Źle jest wyznaczony rozkład. Zastanów się jeszcze raz, jakie wartości przyjmuje zmienna losowa X.
Ile będzie miał gracz A, gdy:
-wypadną trzy orły
-wypadną dwa orły
-wypadnie jeden orzeł
-wypadną same reszki
?

[pdi90]

Faktycznie. Ja wyliczyłem jakie jest prawdopodobieństwo wypadnięcia poszczególnych kombinacji (czyli np. 1 orła, 2 orłów, 3 orłów, 4 orłów).

\(\displaystyle{ 3 \ orly = -3zl\\
2 \ orly = 0zl\\
1 \ orzel = 3zl\\
Same \ reszki = 6zl \\
\\
\\}\)


A w przypadku reszek jest odwrotnie:
\(\displaystyle{ 3 \ reszki = 6zl \\
2 \ reszki = 3zl \\
1 \ reszka = 0zl \\
same \ orly = -3zl \\
\\}\)
A więc:

dla orłów:


\(\displaystyle{ P(x1=-3)=1/8 \\
P(x2=0)=3/8\\
P(x3=3)=3/8\\
P(x4=6)=1/8 \\}\)


dla reszek:
\(\displaystyle{ P(y1=6)=1/8\\
P(y2=3)=3/8\\
P(y3=0)=3/8\\
P(y4=-3)=1/8\\}\)

\(\displaystyle{ E(x)=(-3*1/8)+(0*3/8)+(3*3/8)+(6*1/8)+(6*1/8)+(3*3/8)+(0*3/8)+(-3*1/8)=(-0,375)+0+(1,125)+(0,750)+(0,750)+(1,125)+(-0,375)=3}\)


Czy teraz dobrze to rozumiem?-- 23 maja 2013, o 12:24 --A i jeszcze wracając do pierwszego przykładu. Jeśli miałbym wyliczyć odchylenie standardowe tej zmiennej losowej E(x) z dwóch kostek. To czy mogę skorzystać ze wzoru:

\(\displaystyle{ D^{2}x= \sum_{}^{} [Xi-E(X)]^{2}*pi}\)

pi=(Px=xi)

\(\displaystyle{ (1-7)^{2}*1/36+(2-7)^{2}*2/36+(3-7)^{2}*3/36 \ ... \ (12-7)^{2}*1/36=392/36 \approx 10,88}\)

Bo wówczas Pierwiastek z tego \(\displaystyle{ D^{2}X}\) to odchylenie standardowe dla zmiennej losowej?

A więc odchylenie standardowe wyniesie \(\displaystyle{ \sqrt{10,88} \approx 3,29}\) ?

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ 3 \ orly = -3zl\\
2 \ orly = 0zl\\
1 \ orzel = 3zl\\
Same \ reszki = 6zl \\
\\
\\}\)


A w przypadku reszek jest odwrotnie:
\(\displaystyle{ 3 \ reszki = 6zl \\
2 \ reszki = 3zl \\
1 \ reszka = 0zl \\
same \ orly = -3zl \\
\\}\)

Nie wiem po co wyznaczasz jeszcze coś dla reszek? Przez to dublujesz te same zdarzenia.-- 23 maja 2013, 20:05 --A co do drugiego pytania-tam możesz z tego wzoru skorzystać.