ENW rozkład Poissona

[theblacktruffle]

Niech \(\displaystyle{ X_{1} , X_{2}, ..., X_{n}}\) będzie próbą z rozkładu Poiss (\(\displaystyle{ \lambda}\)) z nieznanym parametrem \(\displaystyle{ \lambda >0}\). Wyznaczyć Estymator Największej Wiarogodności parametru \(\displaystyle{ \lambda}\).

Wzór ogólny na funkcję wiarogodności: \(\displaystyle{ L\left(\theta \right) =\begin{cases} \prod_{i=1}^{n} f\left( x_{i} \right) dla.rozkladow.ciaglych\\ \prod_{i=1}^{n} P\left( X= x_{i} \right) dla.rozkladow.dyskretnych \end{cases}}\)
Rozkład Poissona jest rozkładem dyskretnym(skokowym) stąd korzystamy z \(\displaystyle{ L\left( \theta \right) = \prod_{i=1}^{n} P\left( X= x_{i} \right)}\)
Zaobserwowano \(\displaystyle{ \left( X_{1}=x_{1}, X_{2}= x_{2}, ... , X_{n}= x_{n} \right)}\)

Procesura wyznaczania ENW(\(\displaystyle{ \lambda}\)) :
1) Wyznaczam funkcję wiarogodności
\(\displaystyle{ L \left( \theta, x_{1}, x_{2}, ... , x_{n} \right) = ?}\)
2) Logarytmuję funkcję wiarogodności
3) Różniczkuję zlogarytmowaną funkcję wiarogodności z punktu 2)
4) Wyznaczam estymowany parametr

Proszę o pomoc otrzymaniu ENW

[miodzio1988]

Wyznacz funkcje wiarogodności najpierw

[theblacktruffle]

1) Wyznaczam funkcję wiarogodności
\(\displaystyle{ L \left( \theta, x_{1}, x_{2}, ... , x_{n} \right) = \prod_{i=1}^{n} P_{\lambda}\left( X= x_{i} \right)= \prod_{i=1}^{n} \frac{ \lambda^{k} }{k!} * e^{-\lambda}}\)
Czy zamiast k powinnam wstawić \(\displaystyle{ x_{i}}\)?

[miodzio1988]

Tak, masz wstawić tak jak mówisz