Witam.
Zmienna losowa Y:
\(\displaystyle{ Y = g(x)\\ g(x) = x^2\\ Y = X^2}\)
Zmienna losowa X - rozkład jednostajny na przedziale <0,t>
Należy znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y. Prosiłbym o sprawdzenie mojego rozwiązania:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} dla 0 \le x \le t \\ 0 w p.p\end{cases}}\) - gęstość zmiennej losowej X
Zmienna losowa X jest ciągła na tym przedziale, pochodna z \(\displaystyle{ X^2 \neq 0}\) więc moge skorzystać z następującego wzoru na gęstość zmiennej losowej Y:
\(\displaystyle{ k(y) = f[g^{-1}(y)] \cdot \left| (g^{-1})' (y) \right|}\)
dla c<y<d
\(\displaystyle{ k(y) = 0}\)
w pozostałych przypadkach,
gdzie:
\(\displaystyle{ c = min(c_{1}, d_{1})\\
d = max(c_{1}, d_{1})\\
c_{1} = \lim_{ 0+ } g(x) \\
d_{1} = \lim_{ t- } g(x) \\}\)
Funkcją odwrotna do \(\displaystyle{ X^2}\) jest \(\displaystyle{ g^{-1}(x) = \sqrt{x}}\)
\(\displaystyle{ c_{1} = \lim_{ 0+ } X^2 = 0 \\
d_{1} = \lim_{ t- } X^2 = t^2}\)
\(\displaystyle{ k(y) = \frac{1}{a} \cdot (\sqrt{x})' = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{2a\sqrt{y}}}\)
w przedziale \(\displaystyle{ 0 \le y \le t^2}\)
\(\displaystyle{ k(y) = 0}\)
w pozostałych przedziałach.