Prawo odbicia Procesu Wienera

[teoria]

Witam
Czy mógłby ktoś wyjaśnić o co chodzi w tym wzorze na prawo odbicia Procesu Wienera:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(\sup_{0\leqslant s \leqslant t}W_s >a) = 2 \mathbb{P}(W_t >a)}\)
Mówi to prawo o tym, że po dojściu do pewnego poziomu trajektoria procesu Wienera z równym prawdopodobieństwem może pójść w dół, jak i do góry.

Mam tu dwa pytania:

1. Czy te dwie możliwości: że trajektoria pójdzie w górę lub w dół w pewnym momencie, są opisywane poprzez dwie trajektorie które są takie same do danej chwili czasu, a potem idą już w innym kierunku? Nie wiem jak rozumieć taki przypadek, że trajektoria, w danym momencie, może pójść w różne kierunki z takim samym prawdopodobieństwem; czy jako daną liczbę możliwych realizacji/trajektorii zależną od liczby tych kierunków, w jakie może pójść ta "jedna" trajektoria? Czyli jeśli mówimy, że trajektoria może iść w danym momencie w załóżmy 8 kierunków, a w kolejnych chwilach czasu już będzie taka sama, to mamy na myśli 8 róznych trajektorii wtedy, które do danego ww momentu są takie same, potem są w tej samej chwili w różnych położeniach, a potem w kolejnych chwilach czasu są już w takich samych położeniach? Tzn, dając jeszcze inny przykład, mamy dwie chwile czasu: Zaczynamy w tym samym punkcie nazwanym 0. W 1 chwili czasu cząstka może być w załóżmy 8 kierunkach, w 2 chwili czasu także w 8 kierunkach, i razem mielibyśmy 64 możliwe trajektorie?
To pytanie w odniesieniu do teorii błądzenia losowego
2. Jak należy rozumieć tu ten wzór, patrząc formalnie?

Będę wdzięczny za pomoc

[Kartezjusz]

1.Narysujmy trajektorię do pewnego momentu i przez końcowy punkt przeprowadźmy prostą równoległą do osi X. to z tym samym prawdopodobieństwem może pójść pod prostą i nad nią
2.Popatrz. Prawdopodobieństwo tego,że trajektoria przekroczy kiedykolwiek do momentu \(\displaystyle{ t}\) pewną wartość \(\displaystyle{ a}\) jest z góry zaprogramowane przez prawdopodobieństwo,że punkt \(\displaystyle{ a}\) zostanie przekroczony w momencie \(\displaystyle{ t}\)

[teoria]

Tak, ale mi chodzi o to, że jeśli może iść ta trajektoria w załóżmy dwa różne kierunki w danej chwili czasu, to oznacza, że de facto mamy potem dwie różne trajektorie?

[Kartezjusz]

Nie robimy doświadczenie losowe. Puszczamy konkretną trajektorię i badamy w przedział czasowy \(\displaystyle{ (0;t)}\) Prawo mówi,że będzie trajektoria -ta sama- pójdzie z tym samym prawdopodobieństwem w górę lub w dół. Tak jak z rzutem kostką. To ,że szanse wylosowania szóstki i jedynki są takie same nie oznacza,że wylosujesz je obie:)

[teoria]

A jeśli bierzemy wszystkie możliwe realizacje Procesu stochastycznego, to czy są tam wtedy zawarte te wszystkie trajektorie? Bo w teorii procesu stochastycznego, każda możliwa realizacja to zdarzenie elementarne danego zbioru zdarzeń elementarnych. W takim razie, jeśli mówimy, że dana trajektoria, w momencie \(\displaystyle{ t_k}\) ma takie samo prawdopodobieństwo pójścia w górę, lub w dół, to wtedy te dwie trajektorie z których jedna modeluje możliwość pójścia w chwili \(\displaystyle{ t_k}\) w górę a druga w dół, a we wszystkich innych chwilach są one takie same, mają przypisane takie zdarzenia elementarne, że prawdopodobieństwo wystąpienia obu trajektorii jest takie samo?

[Kartezjusz]

Nie we wszystkich innych ,ale sprzed \(\displaystyle{ t_{k}}\)

[teoria]

W tych chwilach późniejszych też mogłyby mieć te same położenia, ale wtedy trajektoria nie byłaby ciągła (nie mówię tu koniecznie dla Procesu Wienera). Ale czy wtedy w tym opisanym przypadku obie trajektorie miałyby to samo prawdopodobieństwo ?
Ogólnie chodzi mi o to, że każda trajektoria dla załóżmy liczby chwil \(\displaystyle{ t_k}\), formalnie ma tę samą definicję co wartość \(\displaystyle{ k}\)-wymiarowego wektora losowego dla danego zdarzenia elementarnego. Więc, jeśli mówimy, że dana trajektoria w pewnym danym punkcie może pójść do góry lub w dół z takim samym prawdopodobieństwem, to oznacza, że dwie trajektorie które są takie same do chwili \(\displaystyle{ t_{k- \alpha }}\) (później mogą być już jakiekolwiek) mają takie samo prawdopodobieństwo zaistnienia? tzn, że proces może przebiec z takim samym prawdopodobieństwem wedle każdej z trajektorii?