Suma zmiennych losowych

[Edward D]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy \(\displaystyle{ \mathcal{E}(x)=e^{-x}}\) natomiast zmienna losowa Y ma rozkład płaski na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\). Znajdź rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ U = X + Y}\).

Jak robić tego typu zadania?

[matmatmm]

Musisz mieć założenie, że są niezależne, inaczej nie wyznaczysz tego rozkładu. A robi się to ze wzoru na splot gęstości.

[Edward D]

A co gdy potem mam zadanie zeby znalezc rozklad zmiennej \(\displaystyle{ U=XY}\) albo jeszcze jakies potegi tychze zmiennych? Nie bardzo wiem gdzie znalezc jakies informacje dotyczace tego, a na wykladzie bylo to beznadziejnie przedstawione.

[matmatmm]

Znaleźć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ U=XY}\) wcale nie jest tak łatwo. Przyznaję, że nie wiem jak to zrobić. A rozkład potęgi już jest prościej o ile ta zmienna przyjmuje wartości nieujemne. Daj przykład, to się zastanowimy.

[Edward D]

Z ta potega chodzilo mi o rozklad np. \(\displaystyle{ U=X \sqrt{Y}}\) albo \(\displaystyle{ U=X^{\frac{1}{2} }Y^{\frac{1}{3} }}\).

Przykład:

Dane są niezależne \(\displaystyle{ X_1, X_2}\) o jednakowych gęstościach:

\(\displaystyle{ f(x)= 4x^3 \cdot 1_{[0,1]}}\)

Znajdź łączną funkcję gęstości prawdopodobieństwa zmiennych \(\displaystyle{ Y_1 = X_1 \sqrt{X_2}}\) i \(\displaystyle{ Y_2 = X_2 \sqrt{X_1}}\). Czy zmienne \(\displaystyle{ Y_1, Y_2}\) są statystycznie niezalezne?

[matmatmm]

Jedyne, co mi przychodzi go głowy to wyprowadzić sobie wzory z definicji miary produktowej, tak samo jak się wyprowadza wzór na splot (rozkład wektora dwuwymiarowego niezależnych zmiennych jest produktem rozkładów poszczególnych zmiennych). Ale nie gwarantuję, że da się to tak zrobić.

[Edward D]

Poczytałem troche i chyba wiem już mniej więcej o co chodzi, tylko nie wiem jak zrobić jedną rzecz: Mając gęstości p-twa dla zmiennych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) (powiedzmy że są to \(\displaystyle{ f_1 (x) , f_2 (y)}\), jak zrobić z tego rozkład pary \(\displaystyle{ (X,Y)}\), tzn. \(\displaystyle{ f(x,y)=?}\). Gdzieś tam widziałem że to się po prostu mnozy ale dlaczego tak i kiedy tak wolno?

[matmatmm]

Tak, mnoży się i wolno tak tylko, gdy te zmienne są niezależne. Dowodzi się to właśnie w oparciu o definicję miary produktowej.

[Edward D]

Wymyslilem sobie takie zadanie:

Zmienne losowe niezal. \(\displaystyle{ X,Y}\) maja gestosci p-twa:

\(\displaystyle{ f_1(x)=e^{-x} \cdot 1_{[0, \infty )}}\)
\(\displaystyle{ f_2(y)=2e^{-2y}\cdot 1_{[0, \infty )}}\)

Obliczyc gestosc \(\displaystyle{ U=X+Y}\).

Robie tak:

\(\displaystyle{ U=X+Y}\)

\(\displaystyle{ V=Y}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ X=U-V}\)

\(\displaystyle{ Y=V}\)

Jakobian przejscia wynosi 1, więc:

\(\displaystyle{ g(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)) \cdot |J|=f(u-v,v)=2e^{-u-v}}\)
gdzie \(\displaystyle{ u-v \in [0, \infty )}\) oraz \(\displaystyle{ v \in [0, \infty )}\)

\(\displaystyle{ g_1 (u) = \int_{- \infty }^{ \infty } g(u,v)dv= \int_{u}^{ \infty } 2e^{-u-v}=...}\)

bo przy ustalonym \(\displaystyle{ u}\), jest \(\displaystyle{ v \in [u, \infty )}\).

\(\displaystyle{ ...=2e^{-2u}}\).

Czy to jest dobrze policzone?

[matmatmm]

Nie rozumiem twojej metody(nie twierdzę, że ona jest zła). Ja zawsze liczyłem gęstość splotu ze wzoru:

\(\displaystyle{ f_{X+Y}(t)=\int\limits_{\mathbb{R}}f_{X}(x)f_{Y}(t-x)dx}\)

-- 11 kwi 2013, o 12:35 --

Podejrzewam, że twoje obliczenia są źle, bo przypomniałem sobie, że suma niezależnych zmiennych o rozkładzie wykładniczym na rozkład gamma.