Witam
Mam problem ze zrozumieniem pewnego przykładu procesu stochastycznego, który to przykład można znaleźć na wiki. Brzmi on: "Najprostszym przykładem procesu stochastycznego jest wielokrotny rzut monetą: dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych (liczba rzutów), natomiast wartością funkcji dla danej liczby jest jeden z dwóch możliwych stanów losowania (zdarzenie), orzeł lub reszka.".
Mam tu trzy pytania:
1. Czy proces stochastyczny można interpretować na te kilka sposobów:
a) \(\displaystyle{ {\mathbf \xi} =\{\xi_k, k\in (0, T]\}}\) lub \(\displaystyle{ {\mathbf \xi} =\{\xi(\omega, t), t \in (0, T]\}}\) jako zbiór zmiennych losowych, indeksowanych odpowiednio \(\displaystyle{ k}\) lub \(\displaystyle{ t}\) gdzie \(\displaystyle{ \omega}\) jest tu zdarzeniem elementarnym zbioru zdarzeń elementarnych i przedziały dla \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ t}\) są tu oczywiście przykładowe
b) Jako wektor losowy (czyli funkcję), czyli wielowymiarową zmienną losową, gdzie danemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowujemy wartość wektora \(\displaystyle{ n}\) zmiennych losowych indeksowanych \(\displaystyle{ t}\) (czyli jest to realizacja wektora losowego czyli realizacja procesu stochastycznego)
c) Jako funkcję, gdzie danemu \(\displaystyle{ t}\) przyporządkowujemy zmienną losową \(\displaystyle{ X_t}\)
d) Jako funkcję \(\displaystyle{ \xi: \Omega \times {\mathcal T} \to X}\)
Czy każda z tych definicji jest poprawna?
2. Jeśli tak, to jak należy rozumieć podany wyżej przykład z wiki? Gdyby mógł ktoś ściśle, formalnie wytłumaczyć, bardziej symbolicznie, matematycznie, z objaśnieniem, bo nie rozumiem do końca jak należy ten przykład postrzegać
3. Znalazłem takie objaśnienie procesu stochastycznego: "To funkcja losowa, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych, czyli pewnej wartości (chwili czasu, liczbie, itd) przypisane jest zdarzenie losowe (wzrost, losowo wybrana liczba, wartość waluty, itp)". Przecież, np chwili czasu, przyporządkowujemy tutaj zmienną losową, a nie zdarzenie losowe. Ewentualnie, dla danej chwili czasu (zakładając, że indeksy przedstawiają tu "kroki" czasowe), i danego zdarzenia elementarnego, będziemy mieć tu konkretną WARTOŚĆ którejś ze zmiennych losowych. Tak samo dana trajektoria, będąca realizacją procesu stochastycznego, to zbiór wartości zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_t}\) dla danego zdarzenia elementarnego. Tak samo dla przestrzeni mierzalnej, w której wartości swoje mają te zmienne losowe \(\displaystyle{ (E, \mathfrak{M})}\) można przyjmować \(\displaystyle{ E}\) jako zbiór liczb rzeczywistych. Nie rozumiem co to znaczy, że dla danego indeksu (bo jak rozumiem, w tym cytacie dziedziną tej funkcji losowej jest zbiór indeksów) przyporządkowujemy zdarzenie losowe? To odnosi się też do tego pierwszego cytatu. Przecież mamy tu raczej do czynienia ze zmienną losową?
Będę bardzo wdzięczny za szczegółowe wyjaśnienie