Proszę nie zniechęcać się treścią zadania, wszystko właściwie sprowadza się do policzenia wartości oczekiwanej, więc probabilistów też proszę o pomoc.
Mam do rozwiazania następujące zadanie:
Niech \(\displaystyle{ \left(X_1,X_2,\text{...},X_n\right)}\) będzie próbą z rozkładu Bernoulliego \(\displaystyle{ B(1,\theta )}\) i niech rozkład a priori parametru \(\displaystyle{ \theta}\) będzie rozkładem beta \(\displaystyle{ \text{Be}(\alpha ,\beta )}\). Rozważmy problem estymacji parametru \(\displaystyle{ \theta}\) przy funkcji straty postaci:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}(\theta ,d)=\frac{(\theta -d)^2}{d}}\)
.Trzeba znaleźć postać estymatora bayesowskiego parametru \(\displaystyle{ \theta}\) oraz obliczyć ryzyko bayesowskie.
Udało mi się wyznaczyć estymator bayesowski. Jest on postaci:
\(\displaystyle{ d^{\pi }=\sqrt{\frac{\left(\sum _{i=1}^n X_i+\alpha )\right.(1+\sum _{i=1}^n X_i+\alpha )}{(\alpha +\beta +n)(\alpha +\beta +n+1)}}}\)
.Kłopot pojawia się z policzeniem ryzyka bayesowksiego. Z definicji
\(\displaystyle{ r(\pi )=
\begin{array}{c}
E^{\pi }\left[R\left(\theta ,d^{\pi }\right)\right]
\end{array}
=E^{\pi }\left[E_{\theta }\left[\mathcal{L}\left(\theta ,d^{\pi }\right)\right]\right]=E^{\pi }\left[E_{\theta }\left[\frac{\left(\theta -d^{\pi }\right)^2}{d^{\pi }}\right]\right]}\)
.\begin{array}{c}
E^{\pi }\left[R\left(\theta ,d^{\pi }\right)\right]
\end{array}
=E^{\pi }\left[E_{\theta }\left[\mathcal{L}\left(\theta ,d^{\pi }\right)\right]\right]=E^{\pi }\left[E_{\theta }\left[\frac{\left(\theta -d^{\pi }\right)^2}{d^{\pi }}\right]\right]}\)
gdzie \(\displaystyle{ E^{\pi }}\) to wartość oczekiwana względem rozkładu a priori, czyli po teta, a \(\displaystyle{ E_{\theta }}\) to wartość oczekiwana po iksach. Patrząc na sam środek mamy
\(\displaystyle{ \begin{array}{c}
E_{\theta }\left[\frac{\left(\theta -d^{\pi }\right)^2}{d^{\pi }}\right]=\theta ^2E_{\theta }\left(\frac{1}{d^{\pi }}\right)-2\theta
\end{array} +E_{\theta }\left(d^{\pi }\right)}\)
ale nie mam pojęcia jak to policzyć.E_{\theta }\left[\frac{\left(\theta -d^{\pi }\right)^2}{d^{\pi }}\right]=\theta ^2E_{\theta }\left(\frac{1}{d^{\pi }}\right)-2\theta
\end{array} +E_{\theta }\left(d^{\pi }\right)}\)