Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa

[bienieck]

Zadanie jest na pewno proste ale coś nie potrafię powiązać danych ze sobą...

Mam dwie zmienne losowe:
\(\displaystyle{ X\sim N\left( m, \sigma \right)}\)
\(\displaystyle{ Y=exp\left(X\right)}\)

Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ g\left(y\right)}\).

Czy to będzie po prostu \(\displaystyle{ g\left(y\right)=exp(f\left(x\right))}\), gdzie \(\displaystyle{ f\left(x\right)= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } \sigma}exp\left( \frac{-(x-m) ^{2} }{2 \sigma ^{2}} \right)}\)?

[janusz47]

Korzystamy z definicji dystrybuanty zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y.}\)
\(\displaystyle{ G(y) = Pr\{ Y \leq y\} = Pr\{ e^{X} \leq y \} = Pr\{ X \leq ln (y) \}= \int_{0}^{\ln(y)} f_{X}(u)du.}\)

\(\displaystyle{ g(y) = G'(y)= f_{X}( ln(y)) \cdot \frac{1}{y}\cdot I_{(0, \ \infty)} = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-(\ln(y) - m)}{2\sigma^{2}}}\cdot \frac{1}{y} \cdot I_{(0, \ \infty)}.}\)

[bienieck]

a czym jest \(\displaystyle{ I _{(0, \infty )}}\) i co to za trik został użyty do otrzymania pochodnej?
i czemu całka jest od 0 a nie minus nieskończoności?

[janusz47]

\(\displaystyle{ I_{(0, \ \infty)}}\) to funkcja - indykator, która jest równa \(\displaystyle{ 1}\) dla \(\displaystyle{ y\in(0, \ \infty)}\) i \(\displaystyle{ 0}\) w pozostałych przypadkach.
Uwzględniając przypadek \(\displaystyle{ y \in ( - \infty, \ 0 )}\)
\(\displaystyle{ g(-y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-(\ln(-y) - m)}{2\sigma^{2}}}\frac{1}{-y}I_{(-\infty, \ 0)}}\)