Dodawanie wariancji

[Frey]

Nasunęło mi się pytanie związane z wariancją. Nie wiem dokładnie jak się określa tą własność i wytłumaczę to na podstawie średniej. np.

\(\displaystyle{ E(X+Y)=E(X)+E(Y)}\) oraz \(\displaystyle{ E(X^2+2X)=E(X^2)+2 \cdot E(X)}\)

Te własności raczej wydaję się dość "naturalne"

Jak zachowuje się w takiej sytuacji wariancja?

\(\displaystyle{ V(X+Y)=V(X)+V(Y)}\) tak?
\(\displaystyle{ V(X-Y)=V(X)+V(Y)}\) wariancja się zwiększa i tak?
\(\displaystyle{ V(cX)=c \cdot V(X)}\) ?
\(\displaystyle{ V(X^2+X)=?}\)
Wiadomo dla stałej
\(\displaystyle{ V(c)=0}\) i czy to się przekłada np. na \(\displaystyle{ V(X^2+X+c)=V(X^2+X)+V(c)=V(X^2+X)+0=?}\)

Czy można nazwać to addytywnością wariancji, to ma jakąś nazwę?

Z góry dzięki za pomoc.

[Kamil_B]

Zachodzi \(\displaystyle{ Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)}\), gdzie \(\displaystyle{ Cov(X,Y)=E(XY)-(EX)(EY)}\) oznacza kowariancję. Jeśli \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne to \(\displaystyle{ Cov(X,Y)=0}\).
Ponadto \(\displaystyle{ Var(aX)=a^{2}Var(X)}\).

[Frey]

Dzięki o to mi chodziło.

a da się powiedzieć coś o kowariancji \(\displaystyle{ Cov(X^2,X)}\) ? Żeby nie trzeba było tego rozpisywać jako

\(\displaystyle{ Cov(X^2,X)=E(X^2X)-(EX^2)(EX)}\)