Estymator wariancji z próby- sprawdzenie obliczeń

[emdoce]

Witam proszę o wskazanie błędu w moim obliczeniu, muszę obliczyć wariancje z próby, podany i wymagany wzór jak widzę jest na estymator wariancji.
Wzór:
\(\displaystyle{ S^{2}= \frac{1}{n-1}\sum^{n}_{i=1}(X_i-\overline{X})^{2}}\)
Rozwinięcie wzoru:
\(\displaystyle{ S^{2}= \frac{1}{n-1}\sum^{n}_{i=1}(X_i)^{2}-\frac{n}{n-1}(\overline{X})^{2}}\)
A oto przykład:
Dana jest próba: 2,5,1,3;
\(\displaystyle{ n=4}\)

\(\displaystyle{ \overline{X}=2,75}\)
\(\displaystyle{ \sum^{n}_{i=1}(X_i)=11}\)
Podstawienie do wzoru:
\(\displaystyle{ S^{2}= \frac{1}{3}(11)^{2}-\frac{4}{3}(2,75)^{2}=\frac{1}{3}(121)-\frac{4}{3}(7,56)=40,3-10,08= 30,22}\)
Wynik jest totalnie błędny, powinno wyjść 2,92, nie wiem co jest problemem, może kolejność działań?
Bardzo proszę o wskazanie błędu, ponieważ stoję w miejscu, a muszę opracować jeszcze dużo materiału.

[scyth]

Co to za rozwinięcie wzoru? Jak widać coś z nim jest nie tak...

[emdoce]

Rozwinięcie to podał nam wykładowca, jako łatwiejszą formę do obliczeń...
Obliczając przykład z tradycyjnego wzoru wynik wychodzi dobry, ale muszę używać tego "udoskonalonego".

[scyth]

Błąd jest tu:
\(\displaystyle{ \sum^{n}_{i=1}(X_i)^{2} = 2^2 + 5^2 + 1^2 + 3^2 \ne 11^2}\)
(kwadrat sumy to nie to samo co suma kwadratów)

[emdoce]

Tak, wiem jakiś czas temu wpadłam na to, ale bardzo dziękuję za poświęcony mi czas
Niestety teraz mam problem jeszcze z obliczeniem kurtozy z próby, o ile skośność wychodzi dobrze to kurtozy za nic nie mogę wyliczyć z tego wzoru:
\(\displaystyle{ K= \frac{\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}(X_i-\overline{X})^{4}}{S^{4}}}\)

Wiem, że wynik powinien być ujemny (obliczając w excelu), ale przecież podnosząc coś do potęgi 4 wynik nigdy nie będzie ujemny, na mój rozum.
Próbę mam 15 elementową, wynik wychodzi mi 2,8 a winien być -0,077
Jestem w kropce, a może wzór jest zły?
Ale nawet gdyby odjąć od całości 3, bo też taki wzór widziałam daje to -0,2 czyli też nie to.

[bartek118]

Wzór, który podałaś (po oczywiście odjęciu 3) jest estymatorem obciążonym. Excel najpewniej liczy estymator nieobciążony, który wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ K = \frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}\sum_{i=1}^n \left( \frac{x_i - \bar{x}}{s} \right)^4- \frac{3(n-1)^2}{(n-2)(n-3)}}\)

[scyth]

emdoce - najlepiej takie rzeczy obliczać w tabelce lub w jakimś programie statystycznym (polecam darmowego R). Excel często robi różne dziwne operacje i nie należy mu ufać za bardzo.

[emdoce]

Dziękuje serdecznie za porady, chyba faktycznie ściągnę sobie ten program.
Chociaż teraz jedynie pozostało mi tylko a może aż ogarnięcie testowania normalności testem chi-kwadrat oraz wyznaczanie odległoœści Kołmogorowa między zadaną próbą a rozkładem normalnym, jak na razie w ogóle nie mogę przez to przebrnąć.
W razie wątpliwości może rozjaśni mi je jakaś życzliwa dusza na forum, mam taką nadzieję